Aufgaben zum Bestimmen der Definitionsmenge einer Bruchgleichung

1
Bestimme die Definitionsmenge.
Hinweis zum Eingabefeld: Im Eingabefeld musst du nur die Zahl(en) eingeben, die nicht in der Definitionsmenge enthalten sind. Gib die Zahlen nur durch ein Leerzeichen getrennt ein (also kein Komma oder ähnliches), und ordne sie der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge (das heißt, beginne mit der kleinsten).
1. $\displaystyle\frac2x+3=\frac52$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke
  Finde die Definitionslücken. Setze hierfür den Nenner des Bruchs gleich $0$ .
  $x = 0$
  Du kannst erkennen, dass hier der Nenner $0$ wird, wenn $x = 0$ ist.
  Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
  $D=\mathbb{Q}\backslash\{0\}$ .
  Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ohne die Zahl $0$ .
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2. $\displaystyle\frac{2+x}{x-1}=\frac{3+2x}{x+1}-1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke
  Finde die Definitionslücken. Setze hierfür die Nenner beider Brüche gleich $0$ .
  $x-1=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=1$
  $x+1=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=-1$
  Du kannst erkennen, dass der Nenner $0$ wird für $x = 1$ und $x = - 1$ .
  Schließe die Definitionslücke aus der Definitionsmenge aus.
  $D=\mathbb{Q}\backslash\{-1, 1\}$ .
  Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ohne die Zahl $- 1$ und die Zahl $1$ .
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3. $\displaystyle\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x^2-2x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücke
  Definitionsmenge
  Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Definitionslücke ist und wie du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmst.
  Finde die Definitionslücken. Setzte den Nenner beider Brüche gleich $0$ .
  1. Bruch:
  $x-3=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=3$
  2. Bruch:
  Hier brauchst du einen Trick! Klammere aus und prüfe, wann einer der beiden Faktoren gleich $0$ wird.
  $x^{2} - 2 x = 0$
  Klammere $x$ aus.
  $x\cdot(x-2)=0$
  Du musst jetzt prüfen, wann einer der beiden Faktoren $0$ wird. Setze sie jeweils gleich $0$ .
  $x = 0$
  $x-2=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;x=2$
  Du kannst erkennen, dass der Nenner des zweiten Bruchterms $0$ wird für $x = 0$ und $x = 2$ und der erste Bruchterm $0$ wird für $x = 3$ .
  Schließe die Definitionslücken aus der Definitionsmenge aus.
  $D=\mathbb{Q}\backslash\{0, 2, 3\}$ .
  Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ohne die Zahlen $0$ , $2$ und $3$ .
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2
Welche Zahlen sind nicht in der Definitionsmenge der Bruchgleichung enthalten?
1. $- 4$
  $0$
  $- 2$
  $0,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstellen
  Tipp: Suche die senkrechten Asymptoten!
  Die Gleichung ist für bestimmte Zahlen nicht definiert. Sie werden Definitionslücken genannt. Diese müssen also aus der Definitionsmenge herausgenommen werden. Am Graphen erkennt man sie an der senkrechten Asymptote. In diesem Beispiel sind für $x = 0$ beide Terme nicht definiert. Für $x = - 4$ ist $g$ definiert, aber $f$ nicht. Für die Definitionsmenge müssen alle diese Definitionslücken entfernt werden.
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2. $3$
  $1$
  $0$
  $- 4$
  $- 1$
  $- 2$
  $2$
  $4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstellen
  Tipp: Suche die senkrechten Asymptoten!
  Die Gleichung ist für bestimmte Zahlen nicht definiert. Sie werden Defintionslücken genannt. Diese müssen also aus der Definitionsmenge rausgenommen werden. Am Graphen erkennt man sie an der senkrechten Asymptote. In diesem Beispiel erkennt man senkrechte Asymptoten bei $- 4, - 1,0, 1,3$ . Diese müssen alle aus der Definitionsmenge rausgenommen werden.
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3
Warum muss man die Zahl $- 2$ aus der Definitionsmenge der folgendenen Gleichung ausschließen?
$\dfrac{2x}{x^2+4x+4}=3$
(Hinweis: Du musst die Lösungsmenge nicht bestimmen!)
Weil sonst im Nenner $0$ steht. Durch $0$ darf man nicht teilen.
Weil die Gleichung dann keine Lösung hat.
$- 2$ ist eine Lösung der Gleichung
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionslücken
Bei Brüchen kann es Probleme mit der Definitionsmenge geben, wenn der Nenner des Bruches 0 wird. Setze deshalb $- 2$ in den Nenner auf der linken Seite ein:
$(-2)^2+4\cdot(-2)+4=4-8+4=0$
Da der Nenner des Bruches $0$ wird, muss man die $- 2$ aus der Definitionsmenge ausschließen.

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