Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

$f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\rightarrow$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $\mathrm{x}=0$ .

$\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0$

Der Graph hat bei $x_N=0$ eine Nullstelle.

x-Wert mit $f(x)=-3$

Setze $f(x)=-3$

$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3x+6$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}=1{,}5$

Für $x=1{,}5$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

Bestimmung der Schnittpunkte

$f(x)= \dfrac{x}{x-2}$ , $g(x)=\dfrac x3$

Setze $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$	$\displaystyle \cdot3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x^2-2x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x^2-5x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer x aus.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

$\Rightarrow$ ${\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5$

Setze ${\mathrm x}_{\mathrm S2}$ in eine der beiden Funktionen ein.

${\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0|0\right);\;\;{\mathrm S}_2\left(5|\frac53\right)$

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

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Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3f(x)=-3f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

x-Wert mit $f(x)=-3$