Gemischte Aufgaben zu Bruchgleichungen

Bei einer Sammellinse gilt folgender Zusammenhang zwischen Brennweite $f$ , Bildweite $b$ und Gegenstandsweite $g$ :

$\frac1f=\frac1b+\frac1g$

Zeige, dass dann für die Bildweite $b$ gilt:

$b=\frac{fg}{g-f}$

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$\displaystyle \dfrac{1}{f}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{g}$	$\displaystyle -\frac{1}{g}$
$\displaystyle \dfrac{1}{b}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}$
	↓	Nun multipliziert man mit $b$ damit die gesuchte Größe aus dem Nenner verschwindet.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle b\cdot\left(\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}\right)$
	↓	Teile nun durch den Ausdruck in Klammern, damit b alleine steht.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{g}}$
	↓	Bringe nun die Brüche des Nenners auf einen gemeinsamen Hauptnenner.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1\cdot g}{f\cdot g}-\dfrac{1\cdot f}{g\cdot f}}$
	↓	Fasse nun die beiden Brüche im Nenner zusammen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{g-f}{f\cdot g}}$
	↓	Löse den Doppelbruch auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \dfrac{f\cdot g}{g-f}$
	↓	Und damit hast du es gezeigt.