Aufgaben zur Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens

Hier findest du Aufgaben zu Bruchgleichungen. Lerne, Bruchgleichungen mithilfe des Über-Kreut-Multiplizierens zu lösen!

1
Löse die Bruchgleichung:
$\frac{2 + x}{1 - x} = \frac{3 x}{2 - 3 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über Kreuz multiplizieren
Definitionsmenge bestimmen
Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.
$\frac{2 + x}{1 - x} = \frac{3 x}{2 - 3 x}$
Kein Nenner darf $0$ werden.
$1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1$
$2 - 3 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$
Damit lautet die Definitionsmenge: $D = ℚ \ {\frac{2}{3},1}$
Bruchgleichung lösen
Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.
$\frac{2 + x}{1 - x}$ $=$ $\frac{3 x}{2 - 3 x}$ $\cdot (1 - x) \cdot (2 - 3 x)$
$(2 + x) \cdot (2 - 3 x)$ $=$ $3 x \cdot (1 - x)$
↓
Ausmultiplizieren.
$4 - 6 x + 2 x - 3 x^{2}$ $=$ $3 x - 3 x^{2}$
$4 - 4 x - 3 x^{2}$ $=$ $3 x - 3 x^{2}$ $+ 3 x^{2}$
$4 - 4 x$ $=$ $3 x$ $+ 4 x$
$4$ $=$ $7 x$ $: 7$
$x$ $=$ $\frac{4}{7}$
Da $\frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:
$𝕃 = {\frac{4}{7}}$

Beim Lösen einer Gleichung der Form $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ist das Gleiche wie $a \cdot d = b \cdot c$ .

Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsmenge bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.
Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die $0$ in einem der Nenner ergeben würde.
Verboten sind hier also:
$2 x + 1 = 0$
$2 - x = 0$
Erste Gleichung lösen!
$2 x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$2 x$ $=$ $- 1$ $: 2$
$x$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Zweite Gleichung lösen!
$2 - x$ $=$ $0$ $- 2$
$- x$ $=$ $- 2$ $: (- 1)$
$x$ $=$ $2$
Daher müssen die Zahlen $- \frac{1}{2}$ und $2$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {- 0,5; 2}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
$\frac{3}{2 x + 1} = \frac{2}{2 - x}$
Über-Kreuz-Multiplizieren! $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = c \cdot b$
$\frac{3}{2 x + 1}$ $=$ $\frac{2}{2 - x}$ $\cdot (2 x + 1) (2 - x)$
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $2 \cdot (2 x + 1)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$6 - 3 x$ $=$ $4 x + 2$ $- 2 + 3 x$
↓
Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$4$ $=$ $7 x$ $: 7$
$\frac{4}{7}$ $=$ $x$
Überprüfe jetzt noch, ob $x = \frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt $x = \frac{4}{7} \in D$ , also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{4}{7}}$ .
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$\frac{x - 2}{3 + x} = \frac{2 x}{2 x - 3}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren
Definitionsbereich bestimmen
Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.
$\frac{x - 2}{3 + x} = \frac{2 x}{2 x - 3}$
Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.
Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.
Verboten sind hier also:
$3 + x = 0$
$2 x - 3 = 0$
Löse die erste Gleichung!
$3 + x$ $=$ $0$ $- 3$
$x$ $=$ $- 3$
Löse die zweite Gleichung!
$2 x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
$2 x$ $=$ $3$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{3}{2}$
Daher müssen die Zahlen $- 3$ und $\frac{3}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Die Definitionsmenge ist $D = ℚ \ {- 3, \frac{3}{2}}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.
Bruchgleichung lösen
Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:
$\frac{x - 2}{3 + x}$ $=$ $\frac{2 x}{2 x - 3}$ $\cdot (3 + x) (2 x - 3)$
$(x - 2) \cdot (2 x - 3)$ $=$ $2 x \cdot (3 + x)$
↓
Klammern ausmultiplizieren.
$2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ $=$ $6 x + 2 x^{2}$
↓
Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$2 x^{2} - 7 x + 6$ $=$ $6 x + 2 x^{2}$ $- 2 x^{2} + 7 x$
$6$ $=$ $13 x$ $: 13$
$\frac{6}{13}$ $=$ $x$
Überprüfe jetzt noch, ob $x = \frac{6}{13}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. $x = \frac{6}{13} \in D$ also ist die Lösungsmenge $𝕃 = {\frac{6}{13}}$ .
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$1 + \frac{2}{2 x - 1} = \frac{x}{x + 2}$

3
Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung.
$\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Tipp: Liegt deine Lösung wirklich in der Definitionsmenge?
Definitionsmenge bestimmen
Beide Nenner nehmen für $x = 1$ den Wert $0$ an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die $1$ aus der Definitionsmenge ausschließen.
Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:
$D = ℚ \ {1}$ .
Bruchgleichung lösen
Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.
$\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$ .
$| \cdot (x - 1)$
$\frac{x (x - 1)}{x - 1} = \frac{1 (x - 1)}{x - 1}$ .
Kürzen.
$x = 1$
$1$ ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.
Also ist $1$ keine Lösung der Gleichung.
An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge $𝕃 = \emptyset$ .
$f (x) = \frac{x}{x - 1}$
$g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$1 + \frac{2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Den Summanden $1$ mit $2 x - 1$ erweitern.
$\frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Brüche auf der linken Seite addieren.
$\frac{2 x - 1 + 2}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$
	↓	Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
$\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	$\cdot (2 x - 1) (x + 2)$
	↓	Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
$(2 x + 1) \cdot (x + 2)$	$=$	$x \cdot (2 x - 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$2 x^{2} + 4 x + x + 2$	$=$	$2 x^{2} - x$
	↓	Linke Seite zusammenfassen.
$2 x^{2} + 5 x + 2$	$=$	$2 x^{2} - x$	$- 2 x^{2} + x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$6 x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$6 x$	$=$	$- 2$	$: 6$
$x$	$=$	$- \frac{2}{6}$
	↓	Kürzen.
$x$	$=$	$- \frac{1}{3}$

Aufgaben zur Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens

Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

Definitionsmenge bestimmen

Erste Gleichung lösen!

Zweite Gleichung lösen!

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Löse die erste Gleichung!

Löse die zweite Gleichung!

Bruchgleichung lösen

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Definitionsbereich bestimmen

Löse die erste Gleichung.

Löse die zweite Gleichung.

Bruchgleichung lösen

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Definitionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

$\frac{2 + x}{1 - x}$	$=$	$\frac{3 x}{2 - 3 x}$	$\cdot (1 - x) \cdot (2 - 3 x)$
$(2 + x) \cdot (2 - 3 x)$	$=$	$3 x \cdot (1 - x)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$4 - 6 x + 2 x - 3 x^{2}$	$=$	$3 x - 3 x^{2}$
$4 - 4 x - 3 x^{2}$	$=$	$3 x - 3 x^{2}$	$+ 3 x^{2}$
$4 - 4 x$	$=$	$3 x$	$+ 4 x$
$4$	$=$	$7 x$	$: 7$
$x$	$=$	$\frac{4}{7}$

$\frac{3}{2 x + 1}$	$=$	$\frac{2}{2 - x}$	$\cdot (2 x + 1) (2 - x)$
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$2 \cdot (2 x + 1)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$6 - 3 x$	$=$	$4 x + 2$	$- 2 + 3 x$
	↓	Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$4$	$=$	$7 x$	$: 7$
$\frac{4}{7}$	$=$	$x$

$\frac{x - 2}{3 + x}$	$=$	$\frac{2 x}{2 x - 3}$	$\cdot (3 + x) (2 x - 3)$
$(x - 2) \cdot (2 x - 3)$	$=$	$2 x \cdot (3 + x)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$	$=$	$6 x + 2 x^{2}$
	↓	Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$2 x^{2} - 7 x + 6$	$=$	$6 x + 2 x^{2}$	$- 2 x^{2} + 7 x$
$6$	$=$	$13 x$	$: 13$
$\frac{6}{13}$	$=$	$x$