Tipp: Liegt deine Lösung wirklich in der Definitionsmenge?

Definitionsmenge bestimmen

Beide Nenner nehmen für $x=1x=1$ den Wert $00$ an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die $11$ aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:

$D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{1\}D=\backslash mathbb\; Q\; \backslash backslash\; \backslash \{1\backslash \}$.

Bruchgleichung lösen

Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.

$\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x-1}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x-1}}\backslash frac\; \{\backslash displaystyle\; x\}\; \{\backslash displaystyle\; \{x-1\}\}=\backslash frac\; \{\backslash displaystyle\; 1\}\; \{\backslash displaystyle\; x-1\}$.

$\mathrm{\mid }\cdot (x-1)|\backslash cdot(x-1)$

$\frac{{\displaystyle x(x-1)}}{{\displaystyle x-1}}=\frac{{\displaystyle 1(x-1)}}{{\displaystyle x-1}}\backslash frac\; \{\backslash displaystyle\; x(x-1)\}\; \{\backslash displaystyle\; \{x-1\}\}=\backslash frac\; \{\backslash displaystyle\; 1(x-1)\}\; \{\backslash displaystyle\; x-1\}$.

Kürzen.

$x=1x=1$

$11$ ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.

Also ist $11$ keine Lösung der Gleichung.

An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\mathrm{\varnothing }\backslash mathbb\; L=\backslash emptyset$.

• $f(x)=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x-1}}\backslash color\{\#cc0000\}\{f(x)\}=\backslash frac\; \{\backslash displaystyle\; x\}\; \{\backslash displaystyle\; \{x-1\}\}$

• $g(x)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x-1}}\backslash color\{\#ff6600\}\{g(x)\}=\backslash frac\; \{\backslash displaystyle\; 1\}\; \{\backslash displaystyle\; x-1\}$.