Aufgaben zur Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens

Hier findest du Aufgaben zu Bruchgleichungen. Lerne, Bruchgleichungen mithilfe des Über-Kreut-Multiplizierens zu lösen!

Löse die Bruchgleichung:

\displaystyle \frac{2+x}{1-x}=\frac{3x}{2-3x}

Beim Lösen einer Gleichung der Form $\displaystyle\frac ab=\frac cd$ muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt $\displaystyle\frac ab=\frac cd$ ist das Gleiche wie $\displaystyle a\cdot d=b\cdot c$ .

Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

$\displaystyle\frac3{2x+1}=\frac2{2-x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die $0$ in einem der Nenner ergeben würde.

Verboten sind hier also:

$2x+1=0$
$2-x=0$

Erste Gleichung lösen!

$\displaystyle 2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$

Zweite Gleichung lösen!

$\displaystyle 2-x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Daher müssen die Zahlen $-\dfrac{1}{2}$ und $2$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-0{,}5;\ 2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

$\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}\quad$

Über-Kreuz-Multiplizieren! $\dfrac ab=\dfrac cd \Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b$

$\displaystyle \frac{3}{2x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{2-x}$	$\displaystyle \cdot\left(2x+1\right)\left(2-x\right)$
$\displaystyle 3\cdot\left(2-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(2x+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Löse dann die Gleichung durch Umformen nach $x$ auf.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 7x$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle \frac{4}{7}$	$=$	$\displaystyle x$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=\frac{4}{7}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt $x=\dfrac{4}{7} \in D$ , also ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ \dfrac{4}{7}\right\}$ .

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$\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.

Verboten sind hier also:

$3+x=0$
$2x-3=0$

Löse die erste Gleichung!

$\displaystyle 3+x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Löse die zweite Gleichung!

$\displaystyle 2x-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$

Daher müssen die Zahlen $-3$ und $\dfrac{3}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

$\displaystyle \frac{x-2}{3+x}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{2x-3}$	$\displaystyle \cdot\left(3+x\right)\left(2x-3\right)$
$\displaystyle \left(x-2\right)\cdot\left(2x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot\left(3+x\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
$\displaystyle 2x^2-3x-4x+6$	$=$	$\displaystyle 6x+2x^2$
	↓	Löse nun die Gleichung nach $x$ auf!
$\displaystyle 2x^2-7x+6$	$=$	$\displaystyle 6x+2x^2$	$\displaystyle -2x^2+7x$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 13x$	$\displaystyle :13$
$\displaystyle \frac{6}{13}$	$=$	$\displaystyle x$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=\dfrac{6}{13}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. $x=\dfrac{6}{13} \in D$ also ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ \dfrac{6}{13}\right\}$ .

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$\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Über-Kreuz-Multiplizieren

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

$\displaystyle1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}$

Keiner der beiden Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner $0$ ergeben würde.

Verboten ist hier:

$2x-1=0$
$x+2=0$

Löse die erste Gleichung.

$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

Löse die zweite Gleichung.

$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Daher müssen die Zahlen $-2$ und $\dfrac{1}{2}$ aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist $D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.

$\displaystyle 1+\frac{2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Den Summanden $1$ mit $2x-1$ erweitern.
$\displaystyle \frac{2x-1}{2x-1}+\frac{2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Brüche auf der linken Seite addieren.
$\displaystyle \frac{2x-1+2}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$
	↓	Auf der linken Seite den Zähler zusammenfassen.
$\displaystyle \frac{2x+1}{2x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x+2}$	$\displaystyle \cdot\left(2x-1\right)\left(x+2\right)$
	↓	Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.
$\displaystyle (2x+1)\cdot(x+2)$	$=$	$\displaystyle x\cdot(2x-1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 2x^2+4x+x+2$	$=$	$\displaystyle 2x^2-x$
	↓	Linke Seite zusammenfassen.
$\displaystyle 2x^2+5x+2$	$=$	$\displaystyle 2x^2-x$	$\displaystyle -2x^2+x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 6x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{6}$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$

Überprüfe jetzt noch, ob $x=-\dfrac{1}{3}$ in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen $x=-\dfrac{1}{3} \in D$ ist die Lösungsmenge $\mathbb L= \left\{ -\dfrac{1}{3}\right\}$ .

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3
Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung.
$\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Tipp: Liegt deine Lösung wirklich in der Definitionsmenge?
Definitionsmenge bestimmen
Beide Nenner nehmen für $x=1$ den Wert $0$ an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die $1$ aus der Definitionsmenge ausschließen.
Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:
$D=\mathbb Q \backslash \{1\}$ .
Bruchgleichung lösen
Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.
$\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}$ .
$|\cdot(x-1)$
$\frac {\displaystyle x(x-1)} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1(x-1)} {\displaystyle x-1}$ .
Kürzen.
$x=1$
$1$ ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.
Also ist $1$ keine Lösung der Gleichung.
An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge $\mathbb L=\emptyset$ .
$\color{#cc0000}{f(x)}=\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}$
$\color{#ff6600}{g(x)}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{2+x}{\textcolor{red}{1-x}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3x}{\textcolor{blue}{2-3x}}$	$\displaystyle \cdot (1-x) \cdot (2-3x)$
$\displaystyle (2+x)\cdot \textcolor{blue}{(2-3x)}$	$=$	$\displaystyle \textcolor{blue}{3x}\cdot \textcolor{red}{(1-x)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 4-6x+2x-3x^2$	$=$	$\displaystyle 3x-3x^2$
$\displaystyle 4-4x-3x^2$	$=$	$\displaystyle 3x-3x^2$	$\displaystyle +3x^2$
$\displaystyle 4-4x$	$=$	$\displaystyle 3x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 7x$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7}$