02. Zahlensysteme - Dezimalzahlen & Dualzahlen

Einführung

Ich behaupte einfach mal, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:

  • There are only 10 types of people in the world: Those who understand binary and those who don't.
  • Mit fünf Fingern kann man problemlos bis Dreißig zählen!

Stimmt doch, oder?

Tatsächlich fehlt hier eine wichtige Information um das zu beurteilen zu können: Die Aussagen stimmen für Zahlen im Dualsystem. Warum das so ist, weißt du spätestens am Ende des Artikels.

Würde man stattdessen von Dezimalzahlen ausgehen, kommt bereits bei der ersten Aussage Widerspruch. Es ist im Folgenden also immer wichtig anzugeben, in welchem Zahlensystem man sich gerade befindet.

Das Dezimalsystem hat zehn verschiedene Ziffern (0 bis 9), man sagt also, seine Basis ist 10. Das Dualsystem hat hingegen nur zwei verschiedene Ziffern (0 und 1), seine Basis ist somit die 2. Diese Basen werden auch zur Kennzeichnung verwendet und als Index an der jeweiligen Zahl vermerkt: %%1_2%% (1 dual) und %%1_10%% (1 dezimal).

Dezimalsystem - Basis 10

Unser alltäglich genutztes Dezimalsystem ist ein sogenanntes Stellenwertsystem. Das heißt, jede Stelle der Zahl hat eine bestimmte Wertigkeit. Man sagt daher auch: die letzte Stelle sind die Einer, die vorletzte Stelle sind die Zehner, die drittletzte Stelle sind die Hunderter … und so weiter. Wenn man die Stellen nun durchnummeriert und bei den Einern mit 0 beginnt, kann man die Wertigkeit der einzelnen Stellen sehr schön mit der Basis 10 ausdrücken (%%Stellenwert = Basis^{Stellennr.}%%):

  • Einer: 1 entspricht %%10^0%%
  • Zehner: 10 entspricht %%10^1%%
  • Hunderter: 100 entspricht %%10^2%%

Das gleiche Prinzip klappt auch bei den Nachkommastellen, wenn man hier vom Komma aus gesehen mit -1 beginnt:

  • Zehntel: 0,1 entspricht %%10^{-1}%%
  • Hundertstel: 0,01 entspricht %%10^{-2}%%

Wenn man als Beispiel nun die Zahl %%239,34_{10}%% so zerlegt, ergibt sich folgende Übersicht:

Dezimalzahl:

2

3

9

,

3

4

Stellennummer:

2

1

0

-1

-2

Stellenwert:

%%10^2%%

%%10^1%%

%%10^0%%

%%10^{-1}%%

%%10^{-2}%%

Potenzwert:

%%2*100 = 200%%

%%3*10 = 30%%

%%9*1 = 9%%

,

%%3*0,1 = 0,3%%

%%4*0,01 = 0,04%%

Addiert man nun die einzelnen Potenzwerte der Stellen, bekommt man wieder den Gesamtwert der Zahl: $$200 + 30 + 9 + 0,3 + 0,04 = 239,34_{10}$$

Zugegeben: Das weiß man in groben Zügen schon seit der Grundschule. Diese scheinbar umständliche Auflistung hilft jedoch gleich, das Dualsystem sehr einfach zu verstehen!

Dualsystem - Basis 2

Auch das Dualsystem ist - wie das Dezimalsystem - ein Stellenwertsystem! Daher kann man von einer gegebenen Dualzahl auf die gleiche Weise den Gesamtwert als Dezimalzahl ermitteln. Es hat jedoch nur zwei verschiedene Ziffern, also ist die Basis die 2. Als Beispiel soll hier die Zahl %%101,11_{2}%% dienen:

Dezimalzahl:

1

0

1

,

1

1

Stellennummer:

2

1

0

-1

-2

Stellenwert:

%%2^2 \:(=4)%%

%%2^1 \:(=2)%%

%%2^0 \:(=1)%%

%%2^{-1} \:(=0,5)%%

%%2^{-2} \:(=0,25)%%

Potenzwert:

%%1*4 = 4%%

%%0*2 = 0%%

%%1*1 =1%%

,

%%1*0,5 = 0,5%%

%%1*0,25 = 0,25%%

Addiert man nun die einzelnen Potenzwerte der Stellen, bekommt man den Gesamtwert der Dualzahl %%101,11_{2}%% als Dezimalzahl: $$4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 5,75_{10}$$

Nachtrag zur Zahl 30

$$11110_{2} = 30_{10}$$

Die binäre Variante kann man gut mit einer Hand darstellen ;)

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