04. Zahlensysteme - Übungsaufgaben

Diese Seite enthält einige Übungsaufgaben zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen und umgekehrt.

Aufgabe 1

Wandle die Dualzahl %%1010101,1_{2}%% in das Dezimalsystem um!

Kurzlösung:

$$85,5_{10}$$

Ausführlicher Rechenweg:

Bei der Dualzahl sind die Stellen der Nummern 6, 4, 2, 0 und -1 mit einer Eins belegt, alle anderen mit einer Null. Daher kann man den Dezimalwert wie folgt berechnen:

$$ \begin{split} (1*2^{6}) + (0*2^{5}) + (1*2^{4}) + (0*2^{3}) + (1*2^{2}) + (0*2^{1}) + (1*2^{-1}) \\\ = 2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{0} + 2^{-1} \\\ = 64 + 16 + 4 + 1 + 0,5 \\\ = 85,5_{10} \end{split} $$

Aufgabe 2

Wandle die Dualzahl %%11\:0001\:1000,001_{2}%% in das Dezimalsystem um!

Kurzlösung:

$$792,125_{10}$$

Ausführlicher Rechenweg:

Bei der Dualzahl sind die Stellen der Nummern 9, 8, 4, 3 und -3 mit einer Eins belegt, alle anderen mit einer Null. Daher kann man den Dezimalwert wie folgt berechnen:

$$ \begin{split} 2^{9} + 2^{8} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{-3} \\\ = 512 + 256 + 16 + 3 + 0,125 \\\ = 792,125_{10} \end{split} $$

Aufgabe 3

Wandle die Dezimalzahl %%14,25_{10}%% in das Dualsystem um!

Kurzlösung:

$$1110,001_{2}$$

Ausführlicher Rechenweg:

$$ \begin{split} 14 : 2 = 7 \text{ R } 0 \\\ 7 : 2 = 3 \text{ R } 1 \\\ 3 : 2 = 1 \text{ R } 1 \\\ 1 : 2 = 0 \text{ R } 1 \\\ --------\\\ 0,250 * 2 = 0,500 \\\ 0,500 * 2 = 1,000\\\ \end{split} $$

Als Ergebnis kann man nun ablesen (immer von der "Komma-Trennlinie" aus):

  • Vorkommastellen (oberer Abschnitt, Rest von unten nach oben): %%14_{10} = 1110_{2}%%
  • Nachkommastellen (unterer Abschnitt, Vorkommastellen vom Ergebnis): %%0,25_{10} = 0,01_{12}%%
  • Gesamtergebnis: %%14,25_{10} = 1110,01_{2}%%

Aufgabe 4

Wandle die Dezimalzahl %%18,375_{10}%% in das Dualsystem um!

Kurzlösung:

$$10010,011_{2}$$

Ausführlicher Rechenweg:

$$ \begin{split} 18 : 2 = 9 \text{ R } 0 \\\ 9 : 2 = 4 \text{ R } 1 \\\ 4 : 2 = 2 \text{ R } 0 \\\ 2 : 2 = 1 \text{ R } 0 \\\ 1 : 2 = 0 \text{ R } 1 \\\ --------\\\ 0,375 * 2 = 0,75 \\\ 0,75 * 2 = 1,5\\\ 0,5 * 2 = 1,0\\\ \end{split} $$

Als Ergebnis kann man nun ablesen (immer von der "Komma-Trennlinie" aus):

$$18,375_{10} = 10010,011_{2}$$

Aufgabe 5

Wandle die Dezimalzahl %%0,4_{10}%% in das Dualsystem um! Solltest du dabei auf Probleme stoßen, dann ziehe den unteren Hinweis zu Rate!

Hinweis:

Bei manchen Dezimalbrüchen (z.B. 0,1; 0,2; 0,3; usw.) entstehen bei der Umwandlung unendliche periodische Dualbrüche! Somit bricht auch die Umrechnung nach dem üblichen Verfahren nicht von selbst ab - das kannst du tun, sobald du die Periode kennst. (In Computern kann es bei diesen Brüchen also zu kleinen Konvertierungsfehlern kommen, da ja keine unendlichen langen Dualzahlen gespeichert werden können.)

Kurzlösung:

$$0,\overline{0110}_{2}$$

Ausführlicher Rechenweg:

$$ \begin{split} 0,4 * 2 = 0,8 \\\ 0,8 * 2 = 1,6 \\\ 0,6 * 2 = 1,2 \\\ 0,2 * 2 = 0,4 \\\ 0,4 * 2 = \text{ … } \end{split} $$

Als Ergebnis kann man nun folgendes ablesen (wobei der Überstrich die Periode kennzeichnet): $$0,4_{10} = 0,\overline{0110}_{2}$$

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