09. Schaltnetze - Übungen zum Entwickeln und Vereinfachen

Aufgabe 1

Vereinfache die folgende Schaltgleichung: $$\quad y = (a \vee \overline a) \wedge (\overline{\overline b} \vee b)$$

Kurzlösung:

$$y = b$$

Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra!

  • Der erste Klammerausdruck %%(a \vee \overline a)%% ergibt nach Regel 8 den Wert %%1%%. Die Schaltgleichung lautet: $$y = 1 \wedge (\overline{\overline b} \vee b)$$
  • Im verbliebenen Klammerausdruck lässt sich nach Regel 11 die doppelte Negation bei %%\overline{\overline b}%% auflösen. Man erhält: $$y = 1 \wedge (b \vee b)$$
  • Somit steht in der Klammer %%b \vee b%%, was sich nach Regel 7 zu %%b%% vereinfacht. Dies führt zu: $$\quad y = 1 \wedge b$$
  • Nach Regel 2 vereinfacht ergibt sich als Ergebnis schließlich: $$\quad y = b$$

Aufgabe 2

Vereinfache die folgende Schaltgleichung: $$\quad y = (\overline{a \wedge b}) \wedge (a \vee \overline b)$$

Kurzlösung:

$$y = b$$

Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra!

  • Der erste Klammerausdruck %%(\overline{a \wedge b})%% lässt sich per de Morgan'schem Gesetz (Regel 18) umwandeln zu %%(\overline a \vee \overline b)%%. Somit lautet die Schaltgleichung nun: $$\quad y = (\overline a \vee \overline b) \wedge (a \vee \overline b)$$
  • Nach Kürzungsregel 25 vereinfacht ergibt sich schließlich: $$\quad y = b$$

Aufgabe 3

Ermittle für die angegebene Schaltung die zugehörige Schaltgleichung. Vereinfache diese anschließend weitestmöglich.

Zusatz: Versuche die vereinfachte Schaltgleichung so umzuformen, dass nur eine Sorte Logikgatter nötig ist.

Schaltnetz Beispiel

Kurzlösung:
  • aus Schaltung abgelesene Gleichung: %%\quad y = (\overline a \vee \overline b) \wedge (\overline a \vee b) \wedge (a \vee \overline b)%%
  • Vereinfachung: %%\quad y = \overline a \vee \overline b%%
  • Darstellung mit nur einer Sorte Logikgatter: %%\quad y = a \text{ NOR } b%%
Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra! Weiterhin gibt es verschiedene Lösungswege - hier wird ein möglicher dargestellt!

  1. Die direkt aus der Schaltung abgelesene Gleichung lautet wie nachfolgend angegeben. Dabei beinhalten die drei Klammerausdrücke jeweils das Ergebnis der OR-Gatter. Diese werden schließlich AND-verküpft: %%\quad y = (\overline a \vee \overline b) \wedge (\overline a \vee b) \wedge (a \vee \overline b)%%

  2. Wenn wir nun die ersten beiden Klammerausdrücke mit der Regel 25 vergleichen, dann lassen sich diese beiden schlicht zu %%\overline a%% zusammenfassen. Die verkürzte Gleichung lautet nach diesem Schritt: %%\quad y = \overline a \wedge (a \vee \overline b)%%

  3. Vergleicht man die entstandene Schaltgleichung mit der Kürzungsregel 23, so vereinfacht sich diese weiter zum Endergebnis: %%\quad y = \overline a \wedge \overline b%%

Kommentar (alternativer Lösungsweg):

Nebenbei kann man auch direkt durch scharfes Hinsehen auf das Ergebnis kommen! In der ausführlichen Schaltgleichung zeigt sich, dass in jedem Klammerausdruck mindestens eine der Schaltvariablen negiert auftritt - und dass es egal ist, ob die andere auch negiert ist - es treten nämlich schlicht alle Kobinationen auf. Das heißt, man kann das Ergebnis auch direkt ablesen: %%\overline a%% ODER %%\overline b%%.

Ausführlicher Rechenweg zur Zusatzaufgabe:

Blickt man nun noch auf die de-Morgan'schen Gesetze (Regel 19), lässt sich die vereinfachte Schaltgleichung %%y = \overline a \wedge \overline b%% folgendermaßen umformen:

%%\quad y = \overline {a \vee b}%%

Und bei genauem Hinsehen lässt sich feststellen, dass dies nichts anderes ist als eine negierte OR-Verküpfung. Diese lässt sich auch mit einem einzelnen NOR-Gatter realisieren:

%%\quad y = a \text{ NOR } b%%

Aufgabe 4

  1. Ermittle aus der angegebenen Schaltbelegungstabelle eine Schaltgleichung. Wähle dafür eine sinnvolle Normalform.
  2. Vereinfache diese Schaltgleichung rechnerisch mithilfe der Schaltalgebra.
  3. Gib zu der vereinfachten Schaltgleichung eine Schaltung an.

%%a%%

%%b%%

%%c%%

%%y%%

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

Kurzlösung:
  1. Gleichung in DNF: %%\quad y = (a \wedge \overline b \wedge \overline c) \vee (a \wedge \overline b \wedge c) \vee (a \wedge b \wedge \overline c)%%
  2. Vereinfachung: %%\quad y = a \wedge (\overline b \vee \overline c) \quad%% oder %%\quad y = a \wedge(\overline{b \wedge c})%%
  3. Schaltung (nach 1. vereinfachter Gleichung): Schaltnetz zu Aufgabe 4
Ausführlicher Rechenweg:

Hinweis: Die Nummern der Regeln beziehen sich auf die Übersicht im Artikel zur Schaltalgebra!

  1. Gleichung aufstellen: Es ist vorteilhaft die Gleichung in disjunktiver Normalform abzulesen, da nur drei der acht Ausgangswerte Einsen sind. Damit ergibt sich folgende Gleichung: $$\quad y = (a \wedge \overline b \wedge \overline c) \vee (a \wedge \overline b \wedge c) \vee (a \wedge b \wedge \overline c)$$
  2. Gleichung vereinfachen:
  • Da jeder Klammerausdruck die Schaltvariable %%a%% enthält, kann man diese ausklammern (vgl. Regel 16): $$\quad y = a \wedge \bigg( ( \overline b \wedge \overline c) \vee (\overline b \wedge c) \vee (b \wedge \overline c) \bigg)$$
  • Die beiden ersten nun entstandenen inneren Klammerausdrücke lassen sich nach Regel 24 schlicht und einfach zu %%\overline b%% zusammenfassen. Damit ergibt sich: $$\quad y = a \wedge \bigg( \overline b \vee (b \wedge \overline c) \bigg)$$
  • Der jetzt entstandene Ausdruck innerhalb der großen Klammern lässt sich zu %%\overline b \vee \overline c%% zusammenfassen (vgl. Regel 22), so dass wir als Ergbnis folgendes erhalten: $$\quad y = a \wedge (\overline b \vee \overline c)$$
  • Optional: Alternativ ließe sich die Schaltgleichung mittels eines de Morgan'schen Gesetzes auch folgendermaßen darstellen (Regel 18): $$\quad y = a \wedge (\overline{b \wedge c})$$
  1. Schaltung zeichnen:

    (dargestellt wird die Lösung ohne Umformung nach de Morgan) Schaltnetz zu Aufgabe 4

Kommentieren Kommentare