Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Zeige, dass es keinen Wert von $a$ gibt, sodass der Graph von $f (x) = a x^{2} + 1$ die Normalparabel berührt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkt von zwei Funktionen

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $g (x) = x^{2}$ . Um den Berührpunkt der Normalparabel und dem Graphen von $f (x) = a x^{2} + 1$ zu erhalten, setze die Funktionen gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle ax^2+1$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle -x^2$
$\displaystyle ax^2+1-x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(a-1\right)x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{0\pm\sqrt{0^2-4\cdot\left(a-1\right)\cdot1}}{2\cdot\left(a-1\right)}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{-4a+4}}{2a-2}$

Damit sich die Graphen von f und g berühren, muss die Gleichung eine doppelte Nullstelle besitzen, also $x_{1} = x_{2}$ gelten. Damit das stimmt, muss die Diskriminante $D = - 4 a + 4$ Null sein.

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -4a+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -4a$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$

Der Parameter $a$ müsste also 1 sein, damit sich die beiden Graphen der Funktionen berühren. Der Berührpunkt läge an der Stelle $x_{1{,}2}=\frac{\sqrt{-4\cdot\bold1+4}}{2\cdot\bold{1}-2}=\frac{0}{0}$ .

Da man jedoch nicht durch Null teilen darf, existiert kein Berührpunkt! Es gibt keinen Wert $a$ , sodass sich der Graph von f und der Normalparabel berühren.

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