Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Hier findest du gemischte Aufgaben zum Thema quadratischen Funktionen. Schaffst du sie alle?

Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?

Der Graph der Funktion f mit $f\left(x\right)=x^2+tx+1$ verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f\left(x\right)=-x^2-tx-2$ liegt auf der x-Achse.

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f\left(x\right)=-x^2-tx-2$ liegt auf der y-Achse.

2
Bestimme die Schnittpunkte der Geraden $y=x-1{,}5$ mit der Parabel $y=x^2-4x+2{,}5$ rechnerisch.
Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;y=x-1{,}5\\\;\;y=x^2-4x+2{,}5\end{array}$
Funktionen gleichsetzen.
$x-1{,}5=x^2-4x+2{,}5$
Rechne: ${}-x+1{,}5$
$0=x^2-4x-x+2{,}5+1{,}5$
$0=x^2-5x+4$
Mitternachtsformel anwenden $\;\rightarrow$ Diskriminante $D$ berechnen.
$D=25-4\cdot4=9$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=\frac{5-\sqrt9}2=1\\x_2=\frac{5+\sqrt9}2=4\end{array}$
$y$ -Werte berechnen. $\rightarrow$ $x_1$ in Gleichung einsetzen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=1\;\\\Rightarrow\;y_1\;=f(x_1)=1-1{,}5=-0{,}5\end{array}$
$\Rightarrow S_{1\;}(1\mid-0{,}5)$
$x_2$ in Gleichung einsetzen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_2=4\\\Rightarrow\;\;y_2=f(x_2)=4-1{,}5=2{,}5\end{array}$
$\Rightarrow\;S_{2\;}\left(4\mid2{,}5\right)$
Graphische Lösung:
3
Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel $y=x^2+2x$ keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Zur besseren Übersicht berechnen wir zunächst die Scheitelform mit quadratischer Ergänzung:
Parabel ohne Schnittpunkt
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung nach obendurch den y-Achsenabschnitt t verschieben.
Parabel mit einem Schnittpunkt
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung umdrehen, sodass sich nur die Scheitel der Graphen berühren. Dafüer braucht man die Scheitelform.
Parabel mit zwei Schnittpunkten
auch hier gibt es viele Lösungen. Beispielsweise: Die gleiche Gleichung wieder umdrehen und sie dann aber noch um 1 nach oben verschieben, sodass sich 2 Schnittpunkte bilden.

Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen $y_a=x+1$ und $y_b=\frac{1}{2x}$ .

Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.

Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme $\frac{a-2}{8-8a+2a^2}$ und $\frac1{2a-4}$ äquivalent sind.

Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

$f(x)=x^2+2x+5$

$f(x)=x^2+4x+1$

$f(x)=x^2-4x+1$

$f(x)=x^2-3x+3{,}5$

$f(x)=x^2+x-3$

$f(x)=-x^2+2x+1$

$f(x)=-x^2+5x-5$

$f(x)=\frac{1}{2}x^2+x+2$

$f(x)=-\frac{3}{4}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$
	↓	Distributivgesetz anwenden und $-\frac{3}{4}$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x^2-\frac{8}{9}x+\frac{2}{9}\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x^2-\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^2-\left(\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{9}\right)$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\left(\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{9}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}+\frac{2}{9}\right)$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}+\frac{18}{81}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{81}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{2}{81}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)$
	↓	Mit 3 und 2 kürzen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{1}{27}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{1}{54}$

Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(\frac49\left|-\frac1{54}\right.\right)$

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$f(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.

$f(x)=x^2+4x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x-5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-\left({\textstyle2}\right)^2-5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-9$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-2\left|-9\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=x^2+4x-5$

Setze $f(x)=0$ . Satz von Vieta anwenden.

$0=\left(\mathrm x-1\right)\left(x+5\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-5\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=x^2+4x-5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2+4\cdot0-5$

$f(0)=-5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-5\right)\;$

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$f(x)=-x^2-x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-x+6$
	↓	Minus ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+x-6\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle -\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac12\left|\frac{25}4\right.\right)$

Nullstellen berechnen

$f(x)=-x^2-x+6$

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-\left(x^2+x-6\right)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left(\mathrm x-2\right)\left(\mathrm x+3\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2\;\mathrm |\;0\right)\;\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-3\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-x^2-x+6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-0+6$

$f(0)=6$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;6\right)\;$

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$f(x)=-x^2-4x-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x-4$
	↓	Minus ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+4\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-2^2+4\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\left(x+2\right)^2$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-{\textstyle2}\left|\textstyle0\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=-x^2-4x-4$

Setze $f(x)=0$ . Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-\left(x^2+4x+4\right)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left(\left(x+2\right)\left(x+2\right)\right)$

$\rightarrow\;$ $\mathrm x=-2$ $\rightarrow\;$ Doppelte Nullstelle

Schnittpunkt mit der x-Achse

$\mathrm x=-2$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_\mathrm x\left(-2\;\mathrm |\;0\right)\;$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-x^2-4x-4$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-4\cdot0-4$

$f(0)=-4$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-4\right)\;$

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$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-6$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-6\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-12\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-12\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-12\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{4}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{8}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{49}8\right.\right)$

Nullstellen berechnen

$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Setze $f(x)=0$ .

$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	↓
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-12\right)$
	↓	Satz von Vieta
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+4\right)\left(x-3\right)\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -x^2-tx-2$
	$=$	$\displaystyle -[x^2+tx+\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{4}]-2$
	$=$	$\displaystyle -[(x+\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{4}]-2$
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}-2$

$\displaystyle y_a$	$=$	$\displaystyle y_b$
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2x}$	$\displaystyle \cdot2x$
$\displaystyle 2x\left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 2x^2+2x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2x^2+2x-1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2a-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 2a$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle \frac{a-2}{2(a-2)^2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\left(a-2\right)}$
	↓	Vereinfache den Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2a-4}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+tx+1$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle x^2+tx+(\frac{t}{2})^2-(\frac{t}{2})^2+1$
	↓	Binom bilden
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+1-(\frac{t}{2})^2$
	↓	Scheitelpunktsform bestimmen
	$=$	$\displaystyle (x+\frac{t}{2})^2+1-\frac{t^2}{4}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-tx-2$
	↓	Ergänze quadratisch
	$=$	$\displaystyle -[x^2+tx+\frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{4}]-2$
	↓	Binomische Formel
	$=$	$\displaystyle -[(x+\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{4}]-2$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle -(x+\frac{t}{2})^2+\frac{t^2}{4}-2$

$\displaystyle 8-8a+2a^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere 2 aus.
$\displaystyle 2\cdot\left(4-4a+a^2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 4-4a+a^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die 2. binomische Formel.
$\displaystyle \left(a-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+2x+5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2-1+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^2+4$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-4+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-4+1$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-3x+3{,}5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3{,}5$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3{,}5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+3{,}5$
	↓	$\frac{9}{4}=2{,}25$
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-2{,}25+3{,}5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+1{,}25$
	↓	$1{,}25=\frac{5}{4}$ Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+x-3$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-3$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-3$
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-3$
	↓	3 in einen unechten Bruch umwandeln
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-\frac{1}{12}$
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+2x+1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-2x-1\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-1\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-1\right)^2-1^2-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-1\right)^2-1-1\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-1\right)^2-2\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-1\right)^2+2$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+5x-5$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-5x+5\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+5\right)$
	↓	5 in einen unechten Bruch umschreiben
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+\frac{20}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{5}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+2$
	↓	Distributivgesetz anweden. $\frac12$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x:\frac{1}{2}+2:\frac{1}{2}\right)$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x\cdot\frac{2}{1}+2\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+2x+4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+4\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)^2-1^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)^2-1+4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)^2+3\right)$
	↓	Distributivgesetz anweden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+1\right)^2+\frac{1}{2}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+1\right)^2+\frac{3}{2}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$
	↓	Distributivgesetz anweden. $\frac13$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{3}x:\frac{1}{3}+\frac{5}{3}:\frac{1}{3}\right)$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{3}x\cdot\frac{3}{1}+\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{1}\right)$
	↓	Jeweils mit 3 kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{1}x\cdot\frac{1}{1}+\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x+5\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5\right)$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2+5\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2-1^2+5\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2-1+5\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2+4\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-1\right)^2+4\cdot\frac{1}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-1\right)^2+\frac{4}{3}$

Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

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1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

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1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

2.Lösungsweg: Scheitelform

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Graphische Lösung:

Parabel ohne Schnittpunkt

Parabel mit einem Schnittpunkt

Parabel mit zwei Schnittpunkten

Schnittpunkte bestimmen

Erste Lösung x1x_1x1​

Zweite Lösung x2x_2x2​

Definitionsmenge bestimmen

Definitionsmenge von a−28−8a+2a2\frac{a-2}{8-8a+2a^2}8−8a+2a2a−2​

Definitionsmenge von 12a−4\frac{1}{2a-4}2a−41​

Äquivalenz überprüfen

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Quadratische Ergänzung

Nullstellen berechnen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Quadratische Ergänzung

Nullstellen berechnen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Quadratische Ergänzung

Nullstellen berechnen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Quadratische Ergänzung

Nullstellen berechnen

Erste Lösung $x_1$

Zweite Lösung $x_2$

Definitionsmenge von $\frac{a-2}{8-8a+2a^2}$

Definitionsmenge von $\frac{1}{2a-4}$