Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen
Hier findest du gemischte Aufgaben zum Thema quadratischen Funktionen. Schaffst du sie alle?
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Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit f(x)=x2+tx+1 verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
Diskriminante: D=t2−4.
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun D=t2−4<0.
Daher liegt t im Intervall ]−2;2[.
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
f(x)=x2+tx+1;x∈R
Der Graph der Funktion f(x) soll oberhalb der x- Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte f(x)>0.
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der x-Achse liegen.
f(x) = x2+tx+1 ↓ Quadratische Ergänzung
= x2+tx+(2t)2−(2t)2+1 ↓ Binom bilden
= (x+2t)2+1−(2t)2 ↓ Scheitelpunktsform bestimmen
= (x+2t)2+1−4t2 Der Scheitelpunkt ist also S(−2t∣1−4t2).
Die y-Koordinate des Scheitels muss oberhalb der x-Achse liegen also f(t)>0 . Daraus folgt die Ungleichung:
1−4t2>0⇔t2<4
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter t liegt im Intervall ]−2;2[ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=−x2−tx−2 liegt auf der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=−x2−tx−2
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung −x2−tx−2=0 genau eine Lösung. Für die Diskriminante muss also D=0 gelten.
D=t2−4⋅(−2)⋅(−1)=t2−8=0
Also ist t=8 oder t=−8.
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = −x2−tx−2 = −[x2+tx+4t2−4t2]−2 = −[(x+2t)2−4t2]−2 = (x+2t)2+4t2−2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (−2t∣4t2−2).
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit 0 ist, muss 4t2−2=0 gelten.
Also: t2=8 und damit t=8 oder t=−8.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=−x2−tx−2 liegt auf der y-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=−x2−tx−2
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss f(x)=f(−x) für alle x∈R gelten.
Damit gilt: −(x)2−tx−2=−(−x)2−t(−x)−2
Also: −tx=tx ⇒2tx=0 ⇒t=0.
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = −x2−tx−2 ↓ Ergänze quadratisch
= −[x2+tx+4t2−4t2]−2 ↓ Binomische Formel
= −[(x+2t)2−4t2]−2 ↓ Klammern auflösen
= −(x+2t)2+4t2−2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (−2t∣4t2−2).
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür 0 sein muss, muss −2t=0 gelten, also t=0.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Bestimme die Schnittpunkte der Geraden y=x−1,5 mit der Parabel y=x2−4x+2,5 rechnerisch.
Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen
y=x−1,5y=x2−4x+2,5
Funktionen gleichsetzen.
x−1,5=x2−4x+2,5
Rechne: −x+1,5
0=x2−4x−x+2,5+1,5
0=x2−5x+4
Mitternachtsformel anwenden → Diskriminante D berechnen.
D=25−4⋅4=9
x1=25−9=1x2=25+9=4
y-Werte berechnen. → x1 in Gleichung einsetzen.
x1=1⇒y1=f(x1)=1−1,5=−0,5
⇒S1(1∣−0,5)
x2 in Gleichung einsetzen.
x2=4⇒y2=f(x2)=4−1,5=2,5
⇒S2(4∣2,5)
Graphische Lösung:
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Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel y=x2+2x keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Zur besseren Übersicht berechnen wir zunächst die Scheitelform mit quadratischer Ergänzung:
Parabel ohne Schnittpunkt
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung nach obendurch den y-Achsenabschnitt t verschieben.
Parabel mit einem Schnittpunkt
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung umdrehen, sodass sich nur die Scheitel der Graphen berühren. Dafüer braucht man die Scheitelform.
Parabel mit zwei Schnittpunkten
auch hier gibt es viele Lösungen. Beispielsweise: Die gleiche Gleichung wieder umdrehen und sie dann aber noch um 1 nach oben verschieben, sodass sich 2 Schnittpunkte bilden.
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Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen ya=x+1 und yb=2x1 .
Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte
Schnittpunkte bestimmen
Den Schnittpunkt der Funktionen bestimmst du, indem du die Funktionsterme gleichsetzt.
ya=x+1
yb=2x1
ya = yb x+1 = 2x1 ⋅2x 2x(x+1) = 1 2x2+2x = 1 −1 2x2+2x−1 = 0 Berechne nun die Diskriminante, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen.
x1=2⋅2−2+D=2⋅2−2+12≈15356
Setze x1 in einen der Funktionsterme ein, um den y-Wert des Schnittpunktes, y1, zu berechnen.
y1=15356+1=115356
Zweite Lösung x2
x2=2⋅2−2−12≈−115356
Setze x2 in eine der Funktionsterme ein, um den y-Wert des Schnittpunktes, y2, auszurechnen.
y2=−115356+1=15356
⇒S2(x2∣y2)=S2(−11535615356)
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Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme 8−8a+2a2a−2 und 2a−41 äquivalent sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmengen.
Der Nenner des darf nicht Null werden. Bestimme also die Werte für a, die nicht in den Nenner eingesetzt werden dürfen.
Definitionsmenge von 8−8a+2a2a−2
Der Nenner von 8−8a+2a2a−2 ist 8−8a+2a2.
8−8a+2a2 = 0 ↓ Klammere 2 aus.
2⋅(4−4a+a2) = 0 :2 4−4a+a2 = 0 ↓ Verwende die 2. binomische Formel.
(a−2)2 = 0 Die Klammer (a−2) ist 0, wenn a=2 ist.
⇒D1=R\{2}
Definitionsmenge von 2a−41
Der Nenner von 2a−41 ist 2a−4.
2a−4 = 0 +4 2a = 4 :2 a = 2 D2=R∖{2}
Äquivalenz überprüfen
Vereinfache die Gleichung 2(a−2)2a−2 so weit wie möglich um herauszufinden, ob 2(a−2)2a−2=2a−41gilt.
Kürze dafür zuerst den Bruch mit (a−2) kürzen.
2(a−2)2a−2 = 2(a−2)1 ↓ Vereinfache den Nenner.
= 2a−41 ⇒ Die beiden Terme sind äquivalent
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Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.
f(x)=x2+2x+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
f(x) = x2+2x+5 ↓ = x2+2x+(22)2−(22)2+5 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben
= (x+1)2−(22)2+5 = (x+1)2−1+5 = (x+1)2+4 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(−1∣4)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2+4x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2+4x+1 ↓ = x2+4x+(24)2−(24)2+1 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x+24)2−(24)2+1 = (x+2)2−22+1 = (x+2)2−4+1 = (x+2)2−3 ↓ Scheitelpunkt ablesen
→ Scheitelpunkt: S(−2∣−3)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−4x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2−4x+1 ↓ = x2−4x+(24)2+1 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x−24)2−(24)2+1 = (x−2)2−22+1 = (x−2)2−4+1 = (x−2)2−3 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(2∣−3)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−3x+3,5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2−3x+3,5 ↓ = x2−3x+(23)2−(23)2+3,5 ↓ In eine binomische Formel umschreiben.
= (x−23)2−(23)2+3,5 = (x−23)2−49+3,5 ↓ 49=2,25
= (x−23)2−2,25+3,5 = (x−23)2+1,25 ↓ 1,25=45
Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(2345)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2+x−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2+x−3 ↓ = x2+x+(21)2−(21)2−3 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x+21)2−(21)2−3 = (x+21)2−41−3 ↓ 3 in einen unechten Bruch umwandeln
= (x+21)2−41−121 = (x+21)2−413 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(−21−413)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2+2x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = −x2+2x+1 ↓ Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
= = −(x2−2x−1) ↓ = −(x2−2x+(22)2−(22)2−1) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x−22)2−(22)2−1) = −((x−1)2−12−1) = −((x−1)2−1−1) = −((x−1)2−2) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −(x−1)2+2 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(1∣2)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2+5x−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = −x2+5x−5 ↓ Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
= −(x2−5x+5) ↓ = −(x2−5x+(25)2−(25)2+5) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x−25)2−(25)2+5) = −((x−25)2−425+5) ↓ 5 in einen unechten Bruch umschreiben
= −((x−25)2−425+420) = −((x−25)2−45) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −(x−25)2+45 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(2545)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x2+x+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = 21x2+x+2 ↓ Distributivgesetz anweden. 21 ausklammern.
= 21(x2+x:21+2:21) ↓ Mit dem Kehrwert multiplizieren.
= 21(x2+x⋅12+2⋅12) = 21(x2+2x+4) ↓ = 21(x2+2x+(22)2−(22)2+4) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= 21((x+22)2−(22)2+4) = 21((x+1)2−12+4) = 21((x+1)2−1+4) = 21((x+1)2+3) ↓ Distributivgesetz anweden.
= 21(x+1)2+21⋅3 = 21(x+1)2+23 ↓ Scheitelpunkt ablesen
→ Scheitelpunkt: S(−123)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−43x2+32x−61
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = −43x2+32x−61 ↓ Distributivgesetz anwenden und −43 ausklammern.
= −43(x2−98x+92) ↓ = −43(x2−98x+(94)2−(94)2+92) ↓ In eine binomische Formel umschreiben.
= −43((x−94)2−(94)2+92) = −43((x−94)2−8116+92) ↓ Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
= −43((x−94)2−8116+8118) = −43((x−94)2+812) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −43(x−94)2+812⋅(−43) ↓ Mit 3 und 2 kürzen.
= −43(x−94)2+271⋅(−21) = −43(x−94)2−541 Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(94−541)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=31x2−32x+35
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = 31x2−32x+35 ↓ Distributivgesetz anweden. 31 ausklammern.
= 31(x2−32x:31+35:31) ↓ Mit dem Kehrwert multiplizieren.
= 31(x2−32x⋅13+35⋅13) ↓ Jeweils mit 3 kürzen.
= 31(x2−12x⋅11+15⋅11) = 31(x2−2x+5) ↓ = 31(x2−2x+(22)2−(22)2+5) ↓ In eine binomische Formel umschreiben.
= 31((x−22)2−(22)2+5) = 31((x−1)2−12+5) = 31((x−1)2−1+5) = 31((x−1)2+4) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= 31(x−1)2+4⋅31 = 31(x−1)2+34 Nun kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(134)
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.
f(x)=x2+4x−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = x2+4x−5 ↓ = x2+4x+(24)2−(24)2−5 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x+24)2−(24)2−5 = (x+2)2−(2)2−5 = (x+2)2−9 → Scheitelpunkt: S(−2∣−9)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=x2+4x−5
Setze f(x)=0. Satz von Vieta anwenden.
0=(x−1)(x+5)
→ x1=−5;x2=1
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=−5;x2=1
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
→ Px1(−5∣0);Px2(1∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=x2+4x−5
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02+4⋅0−5
f(0)=−5
→ Py(0∣−5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2−x+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = −x2−x+6 ↓ Minus ausklammern. Distributivgesetz.
= −(x2+x−6) ↓ = −(x2+x+(21)2−(21)2−6) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x+21)2−(21)2−6) ↓ Zusammenfassen
= −((x+21)2−425) ↓ Ausmultiplizieren
= −(x+21)2+425 → Scheitelpunkt: S(−21425)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=−x2−x+6
Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.
0=−(x2+x−6)
Satz von Vieta anwenden.
0=−(x−2)(x+3)
→ x1=2;x2=−3
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=2;x2=−3
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(2∣0);Px2(−3∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−x2−x+6
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−0+6
f(0)=6
→ Py(0∣6)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2−4x−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = −x2−4x−4 ↓ Minus ausklammern. Distributivgesetz.
= −(x2+4x+4) ↓ = −(x2+4x+(24)2−(24)2+4) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x+24)2−(24)2+4) = −((x+2)2−22+4) ↓ Zusammenfassen
= −(x+2)2 → Scheitelpunkt: S(−2∣0)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=−x2−4x−4
Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.
0=−(x2+4x+4)
Satz von Vieta anwenden.
0=−((x+2)(x+2))
→ x=−2 → Doppelte Nullstelle
Schnittpunkt mit der x-Achse
x=−2
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px(−2∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−x2−4x−4
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−4⋅0−4
f(0)=−4
→ Py(0∣−4)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x2+21x−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = 21x2+21x−6 ↓ 21 ausklammern. Distributivgesetz
= 21(x2+x−6⋅12) = 21(x2+x−12) ↓ = 21(x2+x+(21)2−(21)2−12) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben
= 21((x+21)2−(21)2−12) ↓ Zusammenfassen
= 21((x+21)2−449) ↓ Ausmultiplizieren
= 21(x+21)2−849 → Scheitelpunkt: S(−21−849)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=21x2+21x−6
Setze f(x)=0.
21 ausklammern. Distributivgesetz.
↓ 0 = 21(x2+x−12) ↓ = 21((x+4)(x−3)) → x1=−4;x2=3
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=−4;x2=3
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(−4∣0);Px2(3∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=21x2+21x−6
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=2102+21⋅0−6
f(0)=−6
→ Py(0∣−6)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x2−4x+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = 21x2−4x+5 ↓ 21 ausklammern. Distributivgesetz.
= 21(x2−4⋅12x+5⋅12) = 21(x2−8x+10) ↓ = 21(x2−8x+(28)2−(28)2+10) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= =21((x−28)2−(28)2+10) = 21((x−4)2−6) ↓ Distributivgesetz. anwenden.
= 21(x−4)2−6⋅21 = 21(x−4)2−3 → Scheitelpunkt: S(4∣−3)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.
f(x)=21x2−4x+5
Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.
D=16−4⋅21⋅5=16−10=6
→ 2 Lösungen
Mitternachtsformel anwenden.
x1=2⋅214+6=4+6
x2=2⋅214−6=4−6
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=4+6 ; x2=4−6
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(4+6∣0);Px2(4−6∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=21x2−4x+5
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=21⋅02−4⋅0+5
f(0)=5
→ Py(0∣5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−4x+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = x2−4x+5 ↓ = x2−4x+(24)2−(24)2+5 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x−24)2−(24)2+5 = (x−2)2−22+5 = (x−2)2−4+5 = (x−2)2+1 → Scheitelpunkt: S(2∣1)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.
f(x)=x2−4x+5
Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.
D=16−4⋅5=16−20=−4
→ keine Lösung
Schnittpunkt mit der x-Achse
→ keine Lösung. Da es keine Nullstelle gibt, kann es auch keinen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=x2−4x+5
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−4⋅0+5
f(0)=5
→ Py(0∣5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=41x2+x−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = 41x2+x−1 ↓ 41 ausklammern. Distributivgesetz.
= 41(x2+x⋅14−1⋅14) = 41(x2+4x−4) ↓ = 41(x2+4x+(24)2−(24)2−4) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= 41((x+2)2−4−4) = 41((x+2)2−8) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= 41(x+2)2−8⋅41 ↓ Zusammenfassen
= 41(x+2)2−2 → Scheitelpunkt: S(−2∣−2)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.
f(x)=41x2+x−1
Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.
D=1−4⋅41⋅(−1)=1−1⋅(−1)=2
→ 2 Lösungen
Mitternachtsformel anwenden.
x1=2⋅41−1+2=−2+22=2+8
x1=21−1+2=−2−22=2−8
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=−2+8 ; x2=−2−8
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(−2+8∣0);Px2(−2−8∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=41x2+x−1
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=4102+0−1
f(0)=−1
→ Py(0∣−1)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=4x2+x−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = 4x2+x−5 ↓ 4 ausklammern. Distributivgesetz.
= 4(x2+4x−45) ↓ = 4(x2+4x+(241)2−(241)2−45) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= 4((x+241)2−(241)2−45) = 4((x+81)2−(81)2−45) = 4((x+81)2−6481) ↓ Distributivgesetz. anwenden.
= 4(x+81)2−1681 → Scheitelpunkt: S(−81∣−1681)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.
f(x)=4x2+x−5
Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.
D=1−4⋅4⋅(−5)=1+80=81
→ 2 Lösungen
Mitternachtsformel anwenden.
x1=2⋅4−1+81=8−1+9=88=1
x2=2⋅4−1−81=8−1−9=8−10=−45
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=1; x2=−45
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
→Px(−45∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=4x2+x−5
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02+0−5
f(0)=−5
→ Py(0∣−5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−4x2−x+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = −4x2−x+5 ↓ -4 ausklammern. Distributivgesetz.
= −4(x2−−4x+−45) = −4(x2+4x−45) ↓ = −4(x2+4x+(241)2−(241)2−45) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −4((x+241)2−(241)2−45) = −4((x+81)2−(81)2−45) = −4((x+81)2−641−45) ↓ Zusammenfassen
= −4((x+81)2−6481) ↓ Distributivgesetz. anwenden.
= −4(x+81)2−6481⋅(−4) = −4(x+81)2+1681 → Scheitelpunkt: S(−811681)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.
f(x)=−4x2−x+5
Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.
D=(−1)2−4⋅(−4)⋅5=1−(−80)=1+80=81
→ 2 Lösungen
Mitternachtsformel anwenden.
x1=2⋅(−4)1+81=−81+9=−810=−45
x2=2⋅(−4)1−81=−81−9=−8−8=1
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=−45; x2=1
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(−45∣0);Px2(1∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−4x2−x+5
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−0+5
f(0)=5
→ Py(0∣5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=31x2−32x−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = 31x2−32x−2 ↓ 31 ausklammern. Distributivgesetz.
= 31(x2−32⋅13x−2⋅13) ↓ Zusammenfassen
= 31(x2−2x−6) ↓ = 31(x2−2x+(22)2−(22)2−6) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= 31((x−22)2−(22)2−6) ↓ Zusammenfassen
= 31((x−1)2−7) ↓ Ausmultiplizieren
= 31(x−1)2−37 → Scheitelpunkt: S(1−37)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.
f(x)=31x2−32x−2
Setze f(x)=0. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.
D = 32⋅32−4⋅31⋅(−2) = 94+38 ↓ Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
= 94+924 = 928 → 2 Lösungen, die sich nach Formel ergeben zu:
x1=3232+928=1+7
x2=2⋅3232−928=1−7
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=1+7; x2=1−7
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(1+7∣0);Px2(1−7∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=31x2−32x−2
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−0−2
f(0)=−2
→ Py(0∣−2)
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 8
Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f(x)=x2+a1x+a0 erfüllt sein, damit f(x) keine Nullstellen besitzt?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
Um die Koeffizienten so zu bestimmen, dass f keine Nullstellen hat, betrachtet man die Diskriminante D. Diese gibt an, ob und wie viele Lösungen die Gleichung x2+a1x+a0=0 hat.
D=a12−4⋅1⋅a0
Damit f keine Nullstelle hat, muss D<0 gelten:
0>a12−4⋅1⋅a0
4⋅a0>a12
a0>4a12
Damit die Funktion f(x)=x2+a1x+a0 keine Nullstelle besitzt, muss folgende Bedingung für die Koeffizienten gelten: a0>4a12
Berechnung der Diskriminante D: Für f(x)=ax2+bx+c gilt: D=b2−4ac
D<0 als Bedingung, damit f(x) keine Nullstellen besitzt
Umstellen den Ungleichung zur Erfüllung einer Bedingung der Koeffizienten
- 9
Untersuche die gegenseitige Lage von f(x) und g(x) in Abhängigkeit von a, wenn gilt:
f(x)=−x2+1;x∈R und g(x)=ax2−a;x∈R;a∈R+
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte
Da a positiv ist, ist der Graph von g(x) eine nach oben geöffnete Parabel und liegt damit für a≥1 über dem Graph von f und sonst darunter.
f(x)−x2+11+ ax2x=====g(x)ax2−ax2(1+ a)1±1∣+a∣+x2∣:(1+a)∣
- 10
Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x) und g(x) mit f(x)=−x2−3x;x∈R und g(x)=0,5x(x+3);x∈R
Zeichne die Graphen von f(x) und g(x) in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich f(x) und g(x) auf der x-Achse schneiden.
S(−1,5∣2,25) ist der Scheitel von f(x).
Gib den Scheitel von g(x) an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
f(x)=−x2−3xg(x)=0,5x(x+3)
Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. → Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.
→ Px1(0∣0)
Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.
f(x) = −x2−3x ↓ f(x) gleich 0 setzen.
0 = −x2−3x +x2 x2 = −3x :x x = −3 → Px2(0∣−3)
g(x) = 0,5x(x+3) ↓ g(x) gleich 0 setzen.
0 = 0,5(x+3) ↓ Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen.
0 = x+3 x = −3 → Px2(0∣−3)
Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.
g(x) = 0,5x(x+3) ↓ Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. → Distributivgesetz
= 0,5(x2+3x) ↓ = 0,5(x2+3x+(23)2−(23)2) ↓ In eine Binomische Formel umformen.
= 0,5((x+23)2−(23)2) (23)2=49 = 0,5((x+23)2−49) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= 0,5(x+23)2−49⋅0,5 0,5=21 ↓ Multiplikation
= 0,5(x+23)2−89 → S(−23∣−89)
Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Gerade x=u schneidet den Graphen von f(x) im Punkt P und den Graphen von g(x) im Punkt Q. Gib P und Q an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Funktionen
Einsetzen von x=u in f(x) :
f(u)=−u2−3u
Ablesen der Koordinaten.
→ P(u∣−u2−3u)
Einsetzen von x=u in g(x) :
g(u)=0,5u(u+3)
→ Q(u∣0,5u(u+3))
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für u∈]−3;0[ ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für u=−1 und den Umfang U in Abhängigkeit von u.
Im Bild ist u=−2,5:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtecke
Es gilt: PQ=∣yP−yQ∣=∣−u2−3u−0,5u(u+3)∣=∣−1,5u2−4,5u∣
Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden x=−1,5, gilt für die x-Koordinate der Punkte R und S:
xR=xS=−u−3
Damit folgt: PS=∣xP−xS∣=∣2u+3∣ und für u=−1 ergibt sich: PSu=−1=∣2⋅(−1)+3∣=1
Da für x∈]−3;0[ die Funktion f(x) oberhalb von g(x) verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also PQ=−1,5u2−4,5u.
Für u=−1 gilt somit für den Flächeninhalt A des Rechtecks PQRS: Au=−1=PQu=−1⋅PSu=−1=−1,5+4,5=3
Der Umfang beträgt allgemein: U=2(∣2u+3∣−1,5u2−4,5u)
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Verschiebe die Parabel g(x) in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von f(x) berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes B.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Damit sich die Graphen der Funktion f(x) und der verschobenen Funktion g(x)+c an der Stelle x berühren, muss zunächst f(x)=g(x)+c gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion f(x)−(g(x)+c) bei x eine doppelte Nullstelle besitzt.
f(x)=g(x)+c
⇔−x2−3x=0,5x(x+3)+c
⇔−1,5x2−4,5x−c=0
Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante D=0 gelten.
Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als 2⋅(−1,5)−(−4,5)±D=−1,5.
Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von f ist, gilt:B=S=(−1,5∣2,25).
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Bestimme a so, dass f(a)−f(a+1)=4 ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
f(a)−f(a+1) = −a2−3a+(a+1)2+3a+3 ↓ Binomische Formel ausmultiplizieren:
= −a2+a2+2a+1+3 = 2a+4 Für f(a)−f(a+1)=4 muss also a=0 gelten.
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- 11
Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x)=(x−1)(x−2) und g(x)=ax2.
Bestimme a so, dass der Graph von g den Graphen von f berührt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkt von Funktionen berechnen
Um den Berührpunkt berechnen zu können, müssen die Funktionen f(x)=(x−1)(x−2) und g(x)=ax2 gleichgesetzt werden.
f(x) = g(x) −g(x) f(x)−g(x) = 0 ↓ Setze f(x)=(x−1)(x−2) und g(x)=ax2 ein.
(x−1)(x−2)−ax2 = 0 ↓ x2−2x−x+2−ax2 = 0 ↓ Fasse zusammen.
(1−a)x2−3x+2 = 0 ↓ Wende die Mitternachtsformel an (oder p-q Formel)
x1,2 = 2⋅(1−a)3±(−3)2−4⋅(1−a)⋅2 Da der Berührpunkt der Funktionen gesucht ist, muss für die Diskriminante D=(−3)2−4⋅(1−a)⋅2 =0 gelten. Genau dann hat der Terme ein doppelte Nullstelle und x1=x2.
D = 0 (−3)2−4⋅(1−a)⋅2 = 0 9−4⋅(1−a)⋅2 = 0 9−8⋅(1−a) = 0 9−8+8a = 0 1+8a = 0 −1 8a = −1 :8 a = −81 Wenn a=−81gewählt wird, berührt der Graph der Funktion g(x)=−81x2 den Graphen von f(x)=(x−1)(x−2).
- 12
Zeige, dass es keinen Wert von a gibt, sodass der Graph von f(x)=ax2+1 die Normalparabel berührt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkt von zwei Funktionen
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion g(x)=x2. Um den Berührpunkt der Normalparabel und dem Graphen von f(x)=ax2+1 zu erhalten, setze die Funktionen gleich.
f(x) = g(x) ax2+1 = x2 −x2 ax2+1−x2 = 0 (a−1)x2+1 = 0 x1,2 = 2⋅(a−1)0±02−4⋅(a−1)⋅1 x1,2 = 2a−2−4a+4 Damit sich die Graphen von f und g berühren, muss die Gleichung eine doppelte Nullstelle besitzen, also x1=x2 gelten. Damit das stimmt, muss die Diskriminante D=−4a+4 Null sein.
D = 0 −4a+4 = 0 −4 −4a = −4 :(−4) a = 1 Der Parameter a müsste also 1 sein, damit sich die beiden Graphen der Funktionen berühren. Der Berührpunkt läge an der Stelle x1,2=2⋅1−2−4⋅1+4=00.
Da man jedoch nicht durch Null teilen darf, existiert kein Berührpunkt! Es gibt keinen Wert a, sodass sich der Graph von f und der Normalparabel berühren.
- 13
Eine Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) hat ihren Scheitel in S(0∣6) und schneidet die x-Achse im Punkt Px(23∣0)
Bestimme die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
geg.: S(0∣6) ; Px(23∣0)
Stelle mit Hilfe des gegebenen Scheitelpunkts die Funktionsgleichung von f in Scheitelform auf.
S(0∣6)⇒f(x)=a(x−0)2+6=ax2+6
Setze den Punkt Px(23∣0) in die Gleichung ein und löse nach a auf.
0 = a⋅(23)2+6 0 = a⋅(4⋅3)+6 0 = 12a+6 −12a −12a = 6 :(−12) a = −126 a = −21 Setze a=−21 in f(x)=ax2+6 ein.
⇒f(x)=−21x2+6
- 14
Ermitteln Sie die Koeffizienten a2 und a1 so, dass die Funktion f(x)=a2x2+a1x+3 an den Stellen x=−1 und x=0,5 die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion g(x)=2x−1 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen
Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g
Die Funktionen f und g sollen für x=−1 und x=0,5, den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du x=−1 und x=0,5 in g(x) einsetzt.
g(x)=2x−1
g(−1)=2⋅(−1)−1=−3
→ P1(−1∣−3)
g(0,5)=2⋅0,5−1=0
→ P2(0,5∣0)
Die Punkte P1 und P2 müssen nun auch auf dem Graphen von f liegen.
Einsetzen der Punkte P1 und P2 in den Funktionsterm von f
f(x)=a2x2+a1x+3
Setze P1(−1∣−3) in f(x) ein.
f(−1) = −3 ↓ f(x)=a2x2+a1x+3 einsetzen.
a2⋅(−1)2+a1⋅(−1)+3 = −3 ↓ Vereinfache.
a2−a1+3 = −3 a1 und a2 müssen also diese Gleichung erfüllen, damit f(−1)=−3 ist und P1 auf dem Graphen von f liegt.
Setze P2(0,5∣0) in f(x) ein.
f(0,5) = 0 ↓ f(x)=a2x2+a1x+3 einsetzen.
a2⋅(0,5)2+a1⋅0,5+3 = 0 ↓ Vereinfache.
0,25a2+0,5a1+3 = 0 a1 und a2 müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit f(0,5)=0 ist und P2 auf dem Graphen von f liegt.
Gleichungssystem lösen
Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten (a1 und a2) und kannst dieses lösen.
I)II)a2−a1+30,25a2+0,5a1+3==−30
Nimm die II) Gleichung ⋅4, um sie zu vereinfachen.
I)II′)a2−a1+3a2+2a1+12==−30
Wende nun das Additionsverfahren an.
I)−II′):(a2−a1+3)−(a2+2a1+12)a2−a1+3−a2−2a1−12−3a1−9−3a1a1=====−3−0−3−36−2∣+9∣:(−3)
Jetzt kannst du a1 in Gleichung I), II) oder II′) einsetzen und nach a2 auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.
Einsetzen in I) liefert:
I)a2−(−2)+3a2+2+3a2+5a2====−3−3−3−8∣−5
Du hast also jetzt a1 und a2 bestimmt. Setz die Werte noch in f ein und du bist fertig.
⇒ f(x)=−8x2−2x+3
- 15
Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln.
Bestimme jeweils die Scheitelform und den Scheitelpunkt.
Berechne die Achsenschnittpunkte.
Beschreibe schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel durch Verschieben/Strecken entsteht und wie sie geöffnet ist.
Zeichne den Graphen von f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.
f(x)=x2−4x+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = x2−4x+2 ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= x2−4x+(24)2−(24)2+2 ↓ Umformen in eine Binomische Formel.
= (x−24)2−(24)2+2 = (x−2)2−22+2 = (x−2)2−2 → S(2∣−2)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x)=x2−4x+2
f(x) = x2−4x+2 ↓ Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = x2−4x+2 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
D = 16−4⋅1⋅2 = 8 → 2 Lösungen:
x1=24+8=2+2
→ Px1(2+2∣0)
x2=24−8=2−2≈0,586
→ Px2(2−2∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=x2−4x+2
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0−0+2=2
→ Py(0∣2)
Verschiebung
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen:
f(x)=(x−2)2−2
→ Verschiebung um 2 LE nach rechts.
→ Verschiebung um 2 LE nach unten.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=x2+4x+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = x2+4x+2 ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= x2+4x+(24)2−(24)2+2 ↓ Umformen in eine Binomische Formel.
= (x+24)2−(24)2+2 = (x+2)2−22+2 = (x+2)2−2 → S(−2∣−2)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = x2+4x+2 ↓ Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = x2+4x+2 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
D = 16−4⋅1⋅2 = 8 → 2 Lösungen
x1=2−4+8=−2+2≈−0,586
→ Px1(−2+2∣0)
x2=2−4−8=−2−2≈−3,414
Px2(−2−2∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=x2+4x+2
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0+0+2=2
→ Py(0∣2)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
f(x)=(x+2)2−2
→ Verschiebung um 2 LE nach links.
→ Verschiebung um 2 LE nach unten.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=−x2−4x+3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = −x2−4x+3 ↓ Minus ausklammern. → Distributivgesetz.
= −(x2+4x−3) ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= −(x2+4x+(24)2−(24)2−3) ↓ Umformen in eine Binomische Formel.
= −((x+24)2−(24)2−3) = −((x+2)2−22−3) = −((x+2)2−7) = −(x+2)2+7 → S(−2∣7)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = −x2−4x+3 ↓ Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = −x2−4x+3 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
D = 16−4⋅(−1)⋅3 = 28 → 2 Lösungen
x1=2⋅(−1)4+28=−2−7≈−4,64
→ Px1(−2−7∣0)
x2=2⋅(−1)−4−28=−2+7≈0,65
→ Px2(−2+7∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−x2−4x+3
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0−0+3=3
f(0)=3
→ Py(0∣3)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.
f(x)=−(x+2)2+7
→ Nach unten geöffnet.
→ Verschiebung um 2 LE nach links.
→ Verschiebung um 7 LE nach oben.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=−x2+8x−9
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = −x2+8x−9 ↓ Minus ausklammern. → Distributivgesetz.
= −(x2−8x+9) ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= −(x2−8x+(28)2−(28)2+9) ↓ Umformen in eine Binomische Formel.
= −((x−28)2−(28)2+9) = −((x−4)2−42+9) = −((x−4)2−7) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −(x−4)2+7 → S(4∣7)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = −x2+8x−9 ↓ Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = −x2+8x−9 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
D = 64−4⋅(−1)⋅(−9) = 28 → 2 Lösungen
x1=2⋅(−1)−8+28=4−7≈1,35
→ Px1(4−7∣0)
x2=2⋅(−1)−8−28=4+7≈6,65
→ Px2(4+7∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−x2+8x−9
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0+0−9=−9
→ Py(0∣−9)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
f(x)=−(x−4)2+7
→ Nach unten geöffnet.
→ Verschiebung um 4 LE nach rechts.
→ Verschiebung um 7 LE nach oben.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=21x2−4x+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = 21x2−4x+5 ↓ 21 ausklammern. → Distributivgesetz .
= 21(x2−8x+10) ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= 21(x2−8x+(28)2−(28)2+10) ↓ Umformen in eine Binomische Formel .
= 21((x−28)2−(28)2+10) = 21((x−4)2−42+10) = 21((x−4)2−6) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= 21(x−4)2−6⋅21 = 21(x−4)2−3 → S(4∣−3)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = 21x2−4x+5 ↓ Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = 21x2−4x+5 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
D = 16−4⋅21⋅5 = 6 → 2 Lösungen
x1=2⋅214+6=4+6≈6,45
→ Px1(4+6∣0)
x2=2⋅214−6=4−6≈1,55
→ Px2(4−6∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=21x2−4x+5
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0−0+5=5
→ Py(0∣5)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
f(x)=21(x−4)2−3
→ Gestaucht durch den Faktor 21.
→ Verschiebung um 4 LE nach rechts.
→ Verschiebung um 3 LE nach unten.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=−21x2−2x+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = −21x2−2x+6 ↓ −21 ausklammern. → Distributivgesetz .
= −21(x2+4x−12) ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= −21(x2+4x+(24)2−(24)2−12) ↓ Umformen in eine Binomische Formel.
= −21((x+24)2−(24)2−12) = −21((x+2)2−22−12) = −21((x+2)2−16) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −21(x+2)2−16⋅(−21) = −21(x+2)2+8 → S(−2∣8)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = −21x2−2x+6 ↓ Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = −21x2−2x+6 ↓ −21 ausklammern. → Distributivgesetz .
= −21(x2+4x−12) ↓ Satz von Vieta anwenden.
= −21(x+6)(x−2) → Px1(−6∣0) ; Px2(2∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−21x2−2x+6
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0−0+6=6
→ Py(0∣6)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
=−21(x+2)2+8
→ Nach unten geöffnet.
→ Gestaucht durch den Faktor 21.
→ Verschiebung um 2 LE nach links.
→ Verschiebung um 8 LE nach oben.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=31x2−32x−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = 31x2−32x−2 ↓ 21 ausklammern. → Distributivgesetz.
= 31(x2−2x−6) ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= 31(x2−2x+(22)2−(22)2−6) ↓ Umformen in eine Binomische Formel.
= 31((x−22)2−(22)2−6) = 31((x−1)2−12−6) = 31((x−1)2−7) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= 31(x−1)2−7⋅31 = 31(x−1)2−37 → S(1∣−37)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = 31x2−32x−2 ↓ Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = 31x2−32x−2 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
D = (−32)2−4⋅31⋅(−2) = 94−4⋅31⋅(−2) = 94+38 = 928 → 2 Lösungen
x1=2⋅3132+928=1+7≈3,65
→ Px1(1+7∣0)
x2=2⋅3132−928=1−7≈−1,65
→ Px2(1−7∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=31x2−32x−2
Für x gleich 0 setzen.
f(0)=0−0−2=−2
→ Py(0∣−2)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
=31(x−1)2−37
→ Gestaucht durch den Faktor 31.
→ Verschiebung um 1 LE nach rechts.
→ Verschiebung um 37 LE nach unten.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
f(x)=−32x2+43x+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
f(x) = −32x2+43x+6 ↓ −32 ausklammern. → Distributivgesetz.
= −32(x2−89x−218) ↓ Vereinfachen
= −32(x2−89x−9) ↓ In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
= −32(x2−89x+(89⋅21)2−9−(89⋅21)2) = −32((x−89⋅21)2−(89⋅21)2−9) = −32((x−169)2−(169)2−9) = −32((x−169)2−2562385) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −32(x−169)2−2562385⋅(−32) ↓ Vereinfachen
= −32(x−169)2+128795 → S(169∣128795)
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x) = −32x2+43x+6 ↓ Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
0 = −32x2+43x+6 D = (43)2−4⋅(−32)⋅6 ↓ Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
= (43)2−4⋅(−312) = (43)2−4⋅(−4) = 16265 → 2 Lösungen
x1=2⋅(−32)−43+16265≈−2,49
→ Px1(−2,49∣0)
x2=2⋅(−32)−43−16265≈3,61
→ Px2(3,61∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−32x2+43x+6
x gleich 0 setzen.
f(0)=0+0+6=6
→ Py(0∣6)
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: f(x)=x2
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
=−32(x−169)2+128795
→ Nach unten geöffnet.
→ Gestaucht durch den Faktor 32.
→ Verschiebung um 169 LE nach rechts.
→ Verschiebung um 128795 LE nach oben.
Zeichnung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.
- 16
Beschreibe, worin sich die Parabeln y=3x2−18x+27 und y=31x2−2x+3 unterscheiden, indem du sie in Scheitelpunktsform umwandelst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
y = 3x2−18x+27 ↓ y = 3[x2−6x+9] ↓ y = 3⋅(x−3)2 Nun kannst du den Scheitel S(3∣0) ablesen
y = 31x2−2x+3 ↓ y = 31[x2−6x+9] ↓ y = y=31(x−3)2 Nun kannst du den Scheitel S(3∣0) ablesen
Die beiden Parabeln haben den gleichen Scheitel und sind nach oben geöffnet;
Die erste ist jedoch enger und die zweite weiter.
- 17
Bestimme die Scheitelform der Parabeln und zeichne sie.
Die Normalparabel wird um 3 gestreckt, um 4 nach rechts und um 1,5 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
f(x)=3(x−4)2−1,5
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Die Normalparabel wird um 21 gestaucht, um 45 nach links und um 1 nach unten verschoben. Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
f(x)=21(x+45)2−1
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Normalparabel wird um 1.75 gestreckt, um 2 nach links und um 5,25 nach oben verschoben. Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
f(x)=−1,75(x+2)2+5,25
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- 18
Christian, Manfred und Peter sollten als Hausaufgabe die Gleichung x2−2x−2=0 graphisch lösen. Sie sind dabei unterschiedlich vorgegangen, aber alle auf die gleichen Näherungslösungen x1≈−0,7 und x2≈2,7 gekommen.
Überprüfe die Näherungslösungen rechnerisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Setze die Funktion gleich 0, um die Nullstellen zu bestimmen.
x2−2x−2=0
Nun kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Berechne hierfür die Diskriminante D.
D=(−2)2−4⋅1⋅(−2)=12
⇒ Die Diskriminante ist positiv, also hat die Gleichung x2−2x−2=0 zwei Lösungen.
Bestimme nun die Lösungen:
x1=22+12 =1+3≈2,7
x2=22−12=1−3≈0,7
Hast du eine Frage oder Feedback?
Erläutere die Vorgehensweisen von Christian, Manfred und Peter.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Christian bestimmt den Schnittpunkt einer Normalparabel f(x)=x2 mit einer Geraden. Wir können die gegebene Gleichung wie folgt umformen:
x2−2x−2 = 0 x2−(2x+2) = 0 +(2x+2) x2 = 2x+2 Christian zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm f(x)=x2 und eine Geraden mit dem Funktionsterm g(x)=2x+2. Er liest dann deren Schnittpunkt ab.
Vorgehen von Manfred:
Manfred liest den Schnittpunkt einer konstanten Funktion mit einer Parabel ab. Er kommt auf diese Idee durch folgende Termumformungen:
x2−2x−2 = 0 ↓ Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
x2−2x+(22)2−(22)2−2 = 0 ↓ Binomische Formel anwenden.
(x−1)2−(22)2−2 = 0 +2 (x−1)2−1 = 2 Manfred zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm f(x)=(x−1)2−1 und eine konstante Funktion mit dem Funktionsterm g(x)=2. Er liest dann deren Schnittpunkt ab.
Vorgehen von Peter:
Peter zeichnet eine Parabel und bestimmt die Nullstellen, indem er die Schnittpunkte mit der x-Achse abliest.
x2−2x−2 = 0 ↓ Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
x2−2x+(22)2−(22)2−2 = 0 ↓ Binomische Formel anwenden.
(x−1)2−1−2 = 0 (x−1)2−3 = 0 Peter zeichnet die Parabel mit dem Funktionsterm in Scheitelpunktsform f(x)=(x−1)2−3.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Ermittle mit jedem Verfahren die Lösungen der Gleichung x2+3x+2=0.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Bestimme nun graphisch die Lösung der Gleichung x2+3x+2=0 mit den verschiedenen Verfahren von Christian, Manfred und Peter.
Christians Methode:
Christian bestimmt den Schnittpunkt einer Normalparabel f(x)=x2 mit einer Geraden. Wir können die gegebene Gleichung wie folgt umformen:
x2+3x+2 = 0 −3x−2 x2 = −3x−2 Christian setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.
Er erhält so die Lösungen x1≈−2 und x2≈−1.
Manfreds Methode:
Manfred liest den Schnittpunkt einer konstanten Funktion mit einer Parabel ab. Er kommt auf diese Idee durch folgende Termumformungen:
x2+3x+2 = 0 ↓ Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
x2+3x+(23)2−(23)2+2 = 0 (x+23)2−(23)2+2 = 0 ↓ Binomische Formel anwenden.
(x+23)2−49+2 = 0 −2 (x+23)2−49 = −2 
Manfred liest so die Lösungen x1=−1 und x2=−2 ab.
Peters Lösung:
Peter zeichnet eine Parabel und bestimmt die Nullstellen, indem er die Schnittpunkte mit der x-Achse abliest.
x2+3x+2 = 0 ↓ Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
x2+3x+(23)2−(23)2+2 = 0 (x+23)2−(23)2+2 = 0 ↓ Binomische Formel anwenden.
(x+23)2−49+2 = 0 ↓ (x+23)2−49+48 = 0 (x+23)2−41 = 0 
Peter liest die Nullstellen x1=−2 und x2=−1 ab.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Manfred und Peter sind von Christians Methode begeistert und versuchen, damit die Gleichung 2x2−x−6=0 zu lösen.
Sie gehen dabei aber unterschiedlich vor (siehe nachstehende Abbildungen). Welche Ergebnisse erhalten sie? Überprüfe rechnerisch. Wer von beiden ist deiner Meinung nach geschickter vorgegangen? Begründe.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Manfred:
Manfred ging wie folgt vor:
2x2−x−6 = 0 +x+6 2x2 = x+6 :2 x2 = 21x−3 Manfred teilt durch 2, um die Normalparabel zu erhalten und damit die Gerade zu schneiden
Peter:
2x2−x−6 = 0 +x+6 2x2 = x+6 Peter macht dies nicht, sondern zeichnet die Parabel gleich mit der Stauchung um 2. Genauso wie Manfred findet er durch das Schneiden mit der Gerade die Lösung der Gleichung.
⇒ Manfreds Methode ist praktischer, da sich eine Normalparabel einfacher zeichnen lässt als eine mit Stauchung.
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- 19
Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph einer Parabel abgebildet.
Gib die Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Den Scheitel der Prabel kannst du im Koordinatensystem ablesen. Er liegt bei S(3∣4).
Bestimme nun den Öffnungsfaktor a. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, hat a ein negatives Vorzeichen.
Allgemein hat eine Parabel in Scheitelpunktsform die Form:
f(x)=a(x−xs)2+ys
Setze den Scheitel ein:
f(x)=a(x−3)2+4
Der Punkt (1∣0) liegt auf dem Graphen. Setze den Punkt ein, um a zu bestimmen:
0=a(1−3)2+4
⇒a=−1
Gib die vollständige Parabelgleichung an:
f(x)=−(x−3)2+4
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Stelle dir vor, dass sich die Parabel in einem beliebig großen Koordinatensystem beliebig fortsetzt. Was ist dann die Definitionsmenge obiger Funktion?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:
f(x)=−(x−3)2+4
Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge, also:
Df=R
Hast du eine Frage oder Feedback?
Angenommen, wir hätten zum Zeichnen des Graphen eine (beliebig große) Wertetabelle berechnet: Welches wird mit Sicherheit der größte y – Wert in dieser Tabelle sein?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.
f(x)=−(x−3)2+4
Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .
ymax=4
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Markiere im Graphen die Nullstellen und gib diese an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Berechne die Nullstellen von f(x)=−(x−3)2+4.
Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.
x1=1 und x2=5
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Gib nun die Wertemenge der Funktion an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Gib die Wertemenge der Funktion an.
Aus Teilaufgabe c) weißt du bereits, dass ymax=4 ist.
Die Wertemenge der Funktion muss also kleiner als y=4 sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.
Die y-Werte werden für unendlich große Zahlen und unendlich kleine Zahlen unendlich klein. Somit ist der Wertebereich:
W=]−∞;4]
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Setze die beiden in c) ermittelten Nullstellen in die Funktionsgleichung ein und bestätige durch Rechnung, dass es tatsächlich Nullstellen sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Berechne die Nullstellen der Funktion.
f(x)=−(x−3)2+4
Setze x=1 in die Funktionsgleichung ein:
f1(1)=−(1−3)2+4=−22+4=−4+4=0
⇒x=1 ist eine Nullstelle.
Setze x=5 in die Funktionsgleichung ein.
f(5)=−(5−3)2+4=−4+4=0
⇒x=5 ist eine Nullstelle.
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- 20
Bei welcher der Folgenden Funktionen handelt es sich um quadratische Funktionen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
In dieser Aufgabe geht es darum, unter einer Menge aus vorgegebenen Funktionen die quadratischen Funktionen herauszufinden.
f(x)=x2
Die höchste Potenz in der die Variable auftritt besitzt den Exponenten 2, deshalb ist die Funktion quadratisch.
f(x)=x+1
Hier handelt es sich um eine lineare Funktion, da sie die Form f(x)=mx+t mit m=1 und t=1 besitzt.
f(x)=5x2
Die höchste Potenz in der die Variable auftritt besitzt den Exponenten 2, deshalb ist die Funktion quadratisch. Die Wurzel beeinflusst die Funktion hierbei nicht, da sie nur ein Faktor ist.
f(x)=−4x2+5x+9
Hier handelt es sich um eine quadratische Funktion, da sie die Form f(x)=ax2+bx+c mit a=−4 und b=5 und c=9 besitzt.
f(x)=x21
Hier liegt der Gedanke nahe, dass es sich um eine quadratische Funktion handeln könnte, allerdings steht hier der quadratische Term im Nenner eines Bruchs, weshalb es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt.
f(x)=2x2+4+x3
Das x2 im ersten Summanden könnte dich vermuten lassen, dass es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt. Da es jedoch einen Summanden mit einer höheren Potenz von x gibt, nämlich x3, ist die Funktion ein Polynom höherer Ordnung.
- 21
Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f(x)=−21x2+2x+1.
Berechne den Scheitelpunkt mithilfe der Scheitelform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
f(x) = −21x2+2x+1 ↓ Distributivgesetz anwenden. −21 ausklammern.
= −21⋅(x2−4x−2) ↓ = −21(x2−4x+(24)2−(24)2−2) ↓ Schreibe in eine Binomische Formel um.
= −21((x−24)2−(24)2−2) = −21((x−2)2−22−2) = −21((x−2)2−4−2) = −21((x−2)2−6) ↓ Wende das Distributivgesetz an.
= −21(x−2)2−6⋅(−21) = −21(x−2)2+3 Lies nun noch den Scheitelpunkt ab.
Scheitelpunkt: S(2∣3)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne die Achsenschnittpunkte.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen
f(x)=−21x2+2x+1
Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.
D = 22−4⋅(−21)⋅1 = 4−4⋅(−21) = 4+2 = 6 ↓ 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.
x1 = 2⋅(−0,5)−2+D=2−6 ↓ Px1(2−6∣0)
x2 = =2⋅(−0,5)−2−D=2+6 ↓ Px1(2+6∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−21x2+2x+1
Setze x gleich 0.
f(0)=−2102+2⋅0+1=1
Py(0∣1)
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Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt, durch den Punkt P(−3∣−1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
P‘(−3∣−1)Py(0∣1)
0 → 3
Verschiebung um 3 Einheiten nach links.
-1 → 1
Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.
Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.
f(x)=−21(x−2)2+3 ⟶g(x)=−21(x+1)2+1
g(x) = −21(x+1)2+1 ↓ Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.
= −21(x2+2x+1)+1 = −21x2−x−21+1 = −21x2−x+21 Hast du eine Frage oder Feedback?
Wo schneiden sich beide Parabeln?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Ansatz: f(x)=g(x)
f(x)=−21x2+2x+1 ; g(x)=−21x2−x+21
−21x2+2x+1 = −21x2−x+21 ↓ Nach x auflösen.
2x+1 = −x+21 3x = −21 x = −61 ↓ Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.
f(−61) = −21⋅(−61)2+61+21 = −21⋅361+61+21 = −721+61+21 ↓ Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . → 6
= −721+61+63 = −721+64 ↓ Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . → 72
= −721+7248 = 7247 S(−61∣7247)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.
- 22
Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f(x)=−21x2+2x+1 .
Berechne den Scheitelpunkt mit Hilfe der Scheitelform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
f(x)=−21x2+2x+1
Distributivgesetz anwenden. −21 ausklammern.
=−21(x2−4x−2)=
=−21(x2−4x+(24)2−(24)2−2)=
Schreibe in eine Binomische Formel um.
=−21((x−24)2−(24)2−2)=
=−21((x−2)2−22−2)=
=−21((x−2)2−4−2)=
=−21((x−2)2−6)=
Wende das Distributivgesetz an.
=−21(x−2)2−6⋅(−21)=
=−21(x−2)2+3
Lies den Scheitelpunkt ab.
→ Scheitelpunkt: S(2∣3)
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Berechne die Achsenschnittpunkte.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen
f(x)=−21x2+2x+1
Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.
D=22−4⋅(−21)⋅1=
=4−4⋅(−21)=
=4+2=6
→ 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.
x1=2⋅(−0,5)−2+D=2−6
→Px1(2−6∣0)Px1(2−6∣0)
x2=2⋅(−0,5)−2−D=2+6
→ Px1(2+6∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−21x2+2x+1
Setze x gleich 0.
f(0)=−2102+2⋅0+1=1
→ Py(0∣1)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt durch den Punkt P (-3| -1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
P‘(−3∣−1)
0 → 3
Verschiebung um 3 Einheiten nach links.
-1 → 1
Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.
Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.
f(x)=−21(x−2)2+3 →g(x)=−21(x+1)2+1
Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.
=−21(x2+2x+1)+1=
=−21x2−x−21+1=
=−21x2−x+21
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Wo schneiden sich beide Parabeln?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hauptnenner
Ansatz: f(x)=g(x)
f(x)=−21x2+2x+1 ;
g(x)=−21x2−x+21
−21x2+2x+1=−21x2−x+21
Nach x auflösen.
⇔2x+1=−x+21
⇔ 3x=−21
⇔ x=−61
Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.
f(−61)=−21⋅(−61)2+61+21=
=−21⋅361+61+21=
=−721+61+21=
Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . →6
=−721+61+63=
=−721+64=
Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . →72
=−721+7248=
=7247
→S(−61∣7247)
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Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.
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