Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen
Hier findest du gemischte Aufgaben zum Thema quadratischen Funktionen. Schaffst du sie alle?
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Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit f(x)=x2+tx+1 verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
Diskriminante: D=t2−4.
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun D=t2−4<0.
Daher liegt t im Intervall ]−2;2[.
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
f(x)=x2+tx+1;x∈R
Der Graph der Funktion f(x) soll oberhalb der x- Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte f(x)>0.
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der x-Achse liegen.
f(x) = x2+tx+1 ↓ Quadratische Ergänzung
= x2+tx+(2t)2−(2t)2+1 ↓ Binom bilden
= (x+2t)2+1−(2t)2 ↓ Scheitelpunktsform bestimmen
= (x+2t)2+1−4t2 Der Scheitelpunkt ist also S(−2t∣1−4t2).
Die y-Koordinate des Scheitels muss oberhalb der x-Achse liegen also f(t)>0 . Daraus folgt die Ungleichung:
1−4t2>0⇔t2<4
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter t liegt im Intervall ]−2;2[ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=−x2−tx−2 liegt auf der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=−x2−tx−2
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung −x2−tx−2=0 genau eine Lösung. Für die Diskriminante muss also D=0 gelten.
D=t2−4⋅(−2)⋅(−1)=t2−8=0
Also ist t=8 oder t=−8.
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = −x2−tx−2 = −[x2+tx+4t2−4t2]−2 = −[(x+2t)2−4t2]−2 = (x+2t)2+4t2−2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (−2t∣4t2−2).
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit 0 ist, muss 4t2−2=0 gelten.
Also: t2=8 und damit t=8 oder t=−8.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=−x2−tx−2 liegt auf der y-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=−x2−tx−2
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss f(x)=f(−x) für alle x∈R gelten.
Damit gilt: −(x)2−tx−2=−(−x)2−t(−x)−2
Also: −tx=tx ⇒2tx=0 ⇒t=0.
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = −x2−tx−2 ↓ Ergänze quadratisch
= −[x2+tx+4t2−4t2]−2 ↓ Binomische Formel
= −[(x+2t)2−4t2]−2 ↓ Klammern auflösen
= −(x+2t)2+4t2−2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (−2t∣4t2−2).
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür 0 sein muss, muss −2t=0 gelten, also t=0.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Bestimme die Schnittpunkte der Geraden y=x−1,5 mit der Parabel y=x2−4x+2,5 rechnerisch.
Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen
y=x−1,5y=x2−4x+2,5
Funktionen gleichsetzen.
x−1,5=x2−4x+2,5
Rechne: −x+1,5
0=x2−4x−x+2,5+1,5
0=x2−5x+4
Mitternachtsformel anwenden → Diskriminante D berechnen.
D=25−4⋅4=9
x1=25−9=1x2=25+9=4
y-Werte berechnen. → x1 in Gleichung einsetzen.
x1=1⇒y1=f(x1)=1−1,5=−0,5
⇒S1(1∣−0,5)
x2 in Gleichung einsetzen.
x2=4⇒y2=f(x2)=4−1,5=2,5
⇒S2(4∣2,5)
Graphische Lösung:
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Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel y=x2+2x keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Zur besseren Übersicht berechnen wir zunächst die Scheitelform mit quadratischer Ergänzung:
Parabel ohne Schnittpunkt
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung nach obendurch den y-Achsenabschnitt t verschieben.
Parabel mit einem Schnittpunkt
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung umdrehen, sodass sich nur die Scheitel der Graphen berühren. Dafüer braucht man die Scheitelform.
Parabel mit zwei Schnittpunkten
auch hier gibt es viele Lösungen. Beispielsweise: Die gleiche Gleichung wieder umdrehen und sie dann aber noch um 1 nach oben verschieben, sodass sich 2 Schnittpunkte bilden.
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Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen ya=x+1 und yb=2x1 .
Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte
Schnittpunkte bestimmen
Den Schnittpunkt der Funktionen bestimmst du, indem du die Funktionsterme gleichsetzt.
ya=x+1
yb=2x1
ya = yb x+1 = 2x1 ⋅2x 2x(x+1) = 1 2x2+2x = 1 −1 2x2+2x−1 = 0 Berechne nun die Diskriminante, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen.
x1=2⋅2−2+D=2⋅2−2+12≈15356
Setze x1 in einen der Funktionsterme ein, um den y-Wert des Schnittpunktes, y1, zu berechnen.
y1=15356+1=115356
Zweite Lösung x2
x2=2⋅2−2−12≈−115356
Setze x2 in eine der Funktionsterme ein, um den y-Wert des Schnittpunktes, y2, auszurechnen.
y2=−115356+1=15356
⇒S2(x2∣y2)=S2(−11535615356)
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Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme 8−8a+2a2a−2 und 2a−41 äquivalent sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmengen.
Der Nenner des darf nicht Null werden. Bestimme also die Werte für a, die nicht in den Nenner eingesetzt werden dürfen.
Definitionsmenge von 8−8a+2a2a−2
Der Nenner von 8−8a+2a2a−2 ist 8−8a+2a2.
8−8a+2a2 = 0 ↓ Klammere 2 aus.
2⋅(4−4a+a2) = 0 :2 4−4a+a2 = 0 ↓ Verwende die 2. binomische Formel.
(a−2)2 = 0 Die Klammer (a−2) ist 0, wenn a=2 ist.
⇒D1=R\{2}
Definitionsmenge von 2a−41
Der Nenner von 2a−41 ist 2a−4.
2a−4 = 0 +4 2a = 4 :2 a = 2 D2=R∖{2}
Äquivalenz überprüfen
Vereinfache die Gleichung 2(a−2)2a−2 so weit wie möglich um herauszufinden, ob 2(a−2)2a−2=2a−41gilt.
Kürze dafür zuerst den Bruch mit (a−2) kürzen.
2(a−2)2a−2 = 2(a−2)1 ↓ Vereinfache den Nenner.
= 2a−41 ⇒ Die beiden Terme sind äquivalent
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Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.
f(x)=x2+2x+5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
f(x) = x2+2x+5 ↓ = x2+2x+(22)2−(22)2+5 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben
= (x+1)2−(22)2+5 = (x+1)2−1+5 = (x+1)2+4 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(−1∣4)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2+4x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2+4x+1 ↓ = x2+4x+(24)2−(24)2+1 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x+24)2−(24)2+1 = (x+2)2−22+1 = (x+2)2−4+1 = (x+2)2−3 ↓ Scheitelpunkt ablesen
→ Scheitelpunkt: S(−2∣−3)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−4x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2−4x+1 ↓ = x2−4x+(24)2+1 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x−24)2−(24)2+1 = (x−2)2−22+1 = (x−2)2−4+1 = (x−2)2−3 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(2∣−3)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2−3x+3,5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2−3x+3,5 ↓ = x2−3x+(23)2−(23)2+3,5 ↓ In eine binomische Formel umschreiben.
= (x−23)2−(23)2+3,5 = (x−23)2−49+3,5 ↓ 49=2,25
= (x−23)2−2,25+3,5 = (x−23)2+1,25 ↓ 1,25=45
Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(2345)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=x2+x−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = x2+x−3 ↓ = x2+x+(21)2−(21)2−3 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x+21)2−(21)2−3 = (x+21)2−41−3 ↓ 3 in einen unechten Bruch umwandeln
= (x+21)2−41−121 = (x+21)2−413 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(−21−413)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2+2x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = −x2+2x+1 ↓ Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
= = −(x2−2x−1) ↓ = −(x2−2x+(22)2−(22)2−1) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x−22)2−(22)2−1) = −((x−1)2−12−1) = −((x−1)2−1−1) = −((x−1)2−2) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −(x−1)2+2 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(1∣2)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2+5x−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = −x2+5x−5 ↓ Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
= −(x2−5x+5) ↓ = −(x2−5x+(25)2−(25)2+5) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x−25)2−(25)2+5) = −((x−25)2−425+5) ↓ 5 in einen unechten Bruch umschreiben
= −((x−25)2−425+420) = −((x−25)2−45) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −(x−25)2+45 ↓ Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(2545)
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f(x)=21x2+x+2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = 21x2+x+2 ↓ Distributivgesetz anweden. 21 ausklammern.
= 21(x2+x:21+2:21) ↓ Mit dem Kehrwert multiplizieren.
= 21(x2+x⋅12+2⋅12) = 21(x2+2x+4) ↓ = 21(x2+2x+(22)2−(22)2+4) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= 21((x+22)2−(22)2+4) = 21((x+1)2−12+4) = 21((x+1)2−1+4) = 21((x+1)2+3) ↓ Distributivgesetz anweden.
= 21(x+1)2+21⋅3 = 21(x+1)2+23 ↓ Scheitelpunkt ablesen
→ Scheitelpunkt: S(−123)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−43x2+32x−61
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = −43x2+32x−61 ↓ Distributivgesetz anwenden und −43 ausklammern.
= −43(x2−98x+92) ↓ = −43(x2−98x+(94)2−(94)2+92) ↓ In eine binomische Formel umschreiben.
= −43((x−94)2−(94)2+92) = −43((x−94)2−8116+92) ↓ Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
= −43((x−94)2−8116+8118) = −43((x−94)2+812) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= −43(x−94)2+812⋅(−43) ↓ Mit 3 und 2 kürzen.
= −43(x−94)2+271⋅(−21) = −43(x−94)2−541 Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(94−541)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=31x2−32x+35
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
f(x) = 31x2−32x+35 ↓ Distributivgesetz anweden. 31 ausklammern.
= 31(x2−32x:31+35:31) ↓ Mit dem Kehrwert multiplizieren.
= 31(x2−32x⋅13+35⋅13) ↓ Jeweils mit 3 kürzen.
= 31(x2−12x⋅11+15⋅11) = 31(x2−2x+5) ↓ = 31(x2−2x+(22)2−(22)2+5) ↓ In eine binomische Formel umschreiben.
= 31((x−22)2−(22)2+5) = 31((x−1)2−12+5) = 31((x−1)2−1+5) = 31((x−1)2+4) ↓ Distributivgesetz anwenden.
= 31(x−1)2+4⋅31 = 31(x−1)2+34 Nun kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
→ Scheitelpunkt: S(134)
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.
f(x)=x2+4x−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = x2+4x−5 ↓ = x2+4x+(24)2−(24)2−5 ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= (x+24)2−(24)2−5 = (x+2)2−(2)2−5 = (x+2)2−9 → Scheitelpunkt: S(−2∣−9)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=x2+4x−5
Setze f(x)=0. Satz von Vieta anwenden.
0=(x−1)(x+5)
→ x1=−5;x2=1
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=−5;x2=1
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
→ Px1(−5∣0);Px2(1∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=x2+4x−5
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02+4⋅0−5
f(0)=−5
→ Py(0∣−5)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2−x+6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = −x2−x+6 ↓ Minus ausklammern. Distributivgesetz.
= −(x2+x−6) ↓ = −(x2+x+(21)2−(21)2−6) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x+21)2−(21)2−6) ↓ Zusammenfassen
= −((x+21)2−425) ↓ Ausmultiplizieren
= −(x+21)2+425 → Scheitelpunkt: S(−21425)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=−x2−x+6
Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.
0=−(x2+x−6)
Satz von Vieta anwenden.
0=−(x−2)(x+3)
→ x1=2;x2=−3
Schnittpunkt mit der x-Achse
x1=2;x2=−3
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px1(2∣0);Px2(−3∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−x2−x+6
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−0+6
f(0)=6
→ Py(0∣6)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=−x2−4x−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = −x2−4x−4 ↓ Minus ausklammern. Distributivgesetz.
= −(x2+4x+4) ↓ = −(x2+4x+(24)2−(24)2+4) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben.
= −((x+24)2−(24)2+4) = −((x+2)2−22+4) ↓ Zusammenfassen
= −(x+2)2 → Scheitelpunkt: S(−2∣0)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=−x2−4x−4
Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.
0=−(x2+4x+4)
Satz von Vieta anwenden.
0=−((x+2)(x+2))
→ x=−2 → Doppelte Nullstelle
Schnittpunkt mit der x-Achse
x=−2
Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.
Px(−2∣0)
Schnittpunkt mit der y-Achse
f(x)=−x2−4x−4
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.
f(0)=02−4⋅0−4
f(0)=−4
→ Py(0∣−4)
Hast du eine Frage oder Feedback?
f(x)=21x2+21x−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung
Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.
f(x) = 21x2+21x−6 ↓ 21 ausklammern. Distributivgesetz
= 21(x2+x−6⋅12) = 21(x2+x−12) ↓ = 21(x2+x+(21)2−(21)2−12) ↓ In eine Binomische Formel umschreiben
= 21((x+21)2−(21)2−12) ↓ Zusammenfassen
= 21((x+21)2−449) ↓ Ausmultiplizieren
= 21(x+21)2−849 → Scheitelpunkt: S(−21−849)
Nullstellen berechnen
Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.
f(x)=21x2+21x−6
Setze f(x)=0.
21 ausklammern. Distributivgesetz.
↓ 0 = 21(x2+x−12) ↓ = 21((x+4)(x−3)) → x1