Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln.

Bestimme jeweils die Scheitelform und den Scheitelpunkt.
Berechne die Achsenschnittpunkte.
Beschreibe schrittweise, wie $f (x)$ aus der Normalparabel durch Verschieben/Strecken entsteht und wie sie geöffnet ist.
Zeichne den Graphen von $f (x)$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 2$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt berechnen
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 4 x + 2$
↓
In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
$=$ $x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
↓
Umformen in eine Binomische Formel.
$=$ ${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 2$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 2$
$\to$ $S (- 2 | - 2)$
Achsenschnittpunkte berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 4 x + 2$
↓
Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$ $=$ $x^{2} + 4 x + 2$
↓
Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$ $=$ $16 - 4 \cdot 1 \cdot 2$
$=$ $8$
$\to$ 2 Lösungen
$x_{1} = \frac{- 4 + \sqrt{8}}{2} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,586$
$\to$ $P_{x 1} (- 2 + \sqrt{2} | 0)$
$x_{2} = \frac{- 4 - \sqrt{8}}{2} = - 2 - \sqrt{2} \approx - 3,414$
$P_{x 2} (- 2 - \sqrt{2} | 0)$
Schnittpunkt mit der y-Achse
$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$
Für x gleich 0 setzen.
$f (0) = 0 + 0 + 2 = 2$
$\to$ $P_{y} (0 | 2)$
Verschiebung des Funktionsgraphen
Normalparabel: $f (x) = x^{2}$
Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.
$f (x) = {(x + 2)}^{2} - 2$
$\to$ Verschiebung um 2 LE nach links.
$\to$ Verschiebung um 2 LE nach unten.
Zeichnung
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Führe eine quadratische Ergänzung durch, um von der Normalform in die Scheitelform zu gelangen. Dort kann der Scheitel, sowie die Verschiebungen der Parabel direkt aus dem Funktionsterm entnommen werden.
Verwende die Informationen aus den Teilaufgaben 1, 2 und 3, um Punkte (beispielsweise der Scheitelpunkt) der Parabel in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Verbinde diese Punkte mit einer Kurve, die keine Ecken oder Sprünge aufweist.

$f (x) = - x^{2} - 4 x + 3$

$f (x) = - x^{2} + 8 x - 9$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$

$f (x) = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot 1 \cdot 2$
	$=$	$8$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot 1 \cdot 2$
	$=$	$8$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - 4 x + 3$
	↓	Minus ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$- (x^{2} + 4 x - 3)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$- (x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 3)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$- ({(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 3)$
	$=$	$- ({(x + 2)}^{2} - 2^{2} - 3)$
	$=$	$- ({(x + 2)}^{2} - 7)$
	$=$	$- {(x + 2)}^{2} + 7$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 8 x - 9$
	↓	Minus ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$- (x^{2} - 8 x + 9)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$- (x^{2} - 8 x + {(\frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 9)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$- ({(x - \frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 9)$
	$=$	$- ({(x - 4)}^{2} - 4^{2} + 9)$
	$=$	$- ({(x - 4)}^{2} - 7)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x - 4)}^{2} + 7$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz .
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} - 8 x + 10)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} - 8 x + {(\frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 10)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x - \frac{8}{2})}^{2} - {(\frac{8}{2})}^{2} + 10)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x - 4)}^{2} - 4^{2} + 10)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x - 4)}^{2} - 6)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 6 \cdot \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$
	↓	$- \frac{1}{2}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz .
	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x - 12)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$- \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 12)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} - 12)$
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x + 2)}^{2} - 2^{2} - 12)$
	$=$	$- \frac{1}{2} ({(x + 2)}^{2} - 16)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 16 \cdot (- \frac{1}{2})$
	$=$	$- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 8$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x - 6)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 6)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 6)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} - 6)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 7)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 7 \cdot \frac{1}{3}$
	$=$	$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - \frac{7}{3}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$
	↓	$- \frac{2}{3}$ ausklammern. $\to$ Distributivgesetz.
	$=$	$- \frac{2}{3} (x^{2} - \frac{9}{8} x - \frac{18}{2})$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$- \frac{2}{3} (x^{2} - \frac{9}{8} x - 9)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$- \frac{2}{3} (x^{2} - \frac{9}{8} x + {(\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 9 - {(\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2})}^{2})$
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 9)$
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{16})}^{2} - {(\frac{9}{16})}^{2} - 9)$
	$=$	$- \frac{2}{3} ({(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{2385}{256})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- \frac{2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} - \frac{2385}{256} \cdot (- \frac{2}{3})$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$- \frac{2}{3} {(x - \frac{9}{16})}^{2} + \frac{795}{128}$

Scheitelpunkt berechnen

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Verschiebung

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Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Verschiebung des Funktionsgraphen

Zeichnung

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