Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln.

Bestimme jeweils die Scheitelform und den Scheitelpunkt.
Berechne die Achsenschnittpunkte.
Beschreibe schrittweise, wie $f (x)$ aus der Normalparabel durch Verschieben/Strecken entsteht und wie sie geöffnet ist.
Zeichne den Graphen von $f (x)$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(2\;\vert-2\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot1\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen:

$x_1=\frac{4+\sqrt8}2=2+\sqrt2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2+\sqrt2\vert0\right)$

$x_2=\frac{4-\sqrt8}2=2-\sqrt2\approx0{,}586$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2-\sqrt2\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=x^2-4x+2$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+2=2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)$

Verschiebung

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen:

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6003_ThS3ww7qch.xml

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$f\left(x\right)=x^2+4x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2^2+2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert-2\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+4x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle \mathrm{D}$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot1\cdot2$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-4+\sqrt8}2=-2+\sqrt2\approx-0{,}586$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt2\vert0\right)$

$x_2=\frac{-4-\sqrt8}2=-2-\sqrt2\approx-3{,}414$

${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt2\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=x^2+4x+2$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0+2=2$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert2\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2-2$

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6007_6MLWielxmo.xml

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$f\left(x\right)=-x^2-4x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Minus ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x-3\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-3\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-2^2-3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-7\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(x+2\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert\;7\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x+3$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot\left(-1\right)\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 28$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{4+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2-\sqrt7\approx-4{,}64$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2-\sqrt7\vert0\right)$

$x_2=\frac{-4-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=-2+\sqrt7\approx0{,}65$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2+\sqrt7\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-x^2-4x+3$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+3=3$

$f\left(0\right)=3$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert3\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebunge n lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=-\left(x+2\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6168_C6ZWhyHZpj.xml

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$f\left(x\right)=-x^2+8x-9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Minus ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-8x+9\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+9\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-7\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\left(x-\textstyle4\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(4\;\vert\;7\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2+8x-9$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-9\right)$
	$=$	$\displaystyle 28$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-8+\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4-\sqrt7\approx1{,}35$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4-\sqrt7\vert0\right)$

$x_2=\frac{-8-\sqrt{28}}{2\cdot\left(-1\right)}=4+\sqrt7\approx6{,}65$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4+\sqrt7\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-x^2+8x-9$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0-9=-9$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert-9\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=-\left(x-\textstyle4\right)^2+7$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 7 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6174_H2EV6KOQmh.xml

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$f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-4x+5$
	↓	$\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-4^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\left(x-\textstyle4\right)^2-6\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-6\cdot\frac12$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(4\;\vert\;-3\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac12x^2-4x+5$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac12x^2-4x+5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16-4\cdot\frac12\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4+\sqrt6\approx6{,}45$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\vert0\right)$

$x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=4-\sqrt6\approx1{,}55$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=\frac12x^2-4x+5$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+5=5$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert5\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$f\left(x\right)=\frac12\left(x-\textstyle4\right)^2-3$

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac12$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 4 LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 3 LE nach unten.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6196_kEw79OrGZY.xml

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$f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	$-\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x+\left(\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\frac42\right)^2-\left(\frac42\right)^2-12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-2^2-12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(\left(x+\textstyle2\right)^2-16\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2-16\cdot\left(-\frac12\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(-2\;\vert\;8\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x^2-2x+6$
	↓	$-\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz .
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x^2{\textstyle+}{\textstyle4}x-12\right)$
	↓	Satz von Vieta anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac12\left(x+6\right)\left(x-2\right)$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-6\vert0\right)$ ; ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(2\vert\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x+6$

Für x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0-0+6=6$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$=-\frac12\left(x+\textstyle2\right)^2+\textstyle8$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac12$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 2 LE nach links.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um 8 LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6200_F8aMieCOLH.xml

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$f\left(x\right)=\frac13x^2-\frac23x-2$

$f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Scheitelpunkt berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
	↓	$-\frac23$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\left(x^2-\frac{9}{8}x-\frac{18}{2}\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x^2-\frac98x-\textstyle9\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x^2-\frac98x+\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-9-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(\left(x-\frac98\cdot\frac12\right)^2-\left(\frac98\cdot\frac12\right)^2-\textstyle9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\left(\frac9{16}\right)^2-\textstyle9\right)$
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2-\frac{2385}{256}\cdot\left(-\frac23\right)$
	↓	Vereinfachen
	$=$	$\displaystyle -\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}$

$\;\rightarrow\;$ $\mathrm S\left(\frac9{16}\;\vert\;\frac{795}{128}\right)$

Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{4}x+6$
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac23\right)}\cdot6$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-\displaystyle\frac{12}3\right)}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac34\right)^2-4\cdot{\textstyle\left(-4\right)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{265}{16}$

$\;\rightarrow\;$ 2 Lösungen

$x_1=\frac{-{\displaystyle\frac34}+\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx-2{,}49$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2{,}49\vert0\right)$

$x_2=\frac{-{\displaystyle\frac34}-\sqrt{\displaystyle\frac{265}{16}}}{2\cdot\left(-\displaystyle\frac23\right)}\approx3{,}61$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3{,}61\vert0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(x\right)=-\frac23x^2+\frac34x+6$

x gleich 0 setzen.

$f\left(0\right)=0+0+6=6$

$\;\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_\mathrm y\left(0\vert6\right)$

Verschiebung des Funktionsgraphen

Normalparabel: $f\left(x\right)=x^2$

Die verschiedenen Verschiebungen lassen sich an der Scheitelform ablesen.

$=-\frac23\left(x-\frac9{16}\right)^2+\frac{795}{128}$

$\;\rightarrow\;$ Nach unten geöffnet.

$\;\rightarrow\;$ Gestaucht durch den Faktor $\frac23$ .

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um $\frac9{16}$ LE nach rechts.

$\;\rightarrow\;$ Verschiebung um $\frac{795}{128}$ LE nach oben.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6204_lAkLh1rsyi.xml

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2$
	↓	$\frac12$ ausklammern. $\;\rightarrow\;$ Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x^2-2x-\textstyle6\right)$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x^2-2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2-\textstyle6\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-1^2-\textstyle6\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(\left(x-\textstyle1\right)^2-\textstyle7\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-{\textstyle7}{\textstyle\cdot}\frac13$
	$=$	$\displaystyle \frac13\left(x-\textstyle1\right)^2-\frac73$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac13x^2-\frac23x-2$
	↓	Nullstelle berechnen . Die Gleichung gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac13x^2-\frac23x-2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac23\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac49-4\cdot\frac13\cdot\left(-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac49+\frac83$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}9$