Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Berechne für folgende Parabeln die Nullstellen, den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung und die Achsenschnittpunkte. Zeichnen Sie den Graphen unter zu Hilfenahme des Scheitelpunkts.

$f(x)=x^2+4x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+4x-5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-\left({\textstyle2}\right)^2-5$
	$=$	$\displaystyle \left(x+2\right)^2-9$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-2\left|-9\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=x^2+4x-5$

Setze $f(x)=0$ . Satz von Vieta anwenden.

$0=\left(\mathrm x-1\right)\left(x+5\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=-5\;;\;{\mathrm x}_2=1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-5\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=x^2+4x-5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2+4\cdot0-5$

$f(0)=-5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-5\right)\;$

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$f(x)=-x^2-x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-x+6$
	↓	Minus ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+x-6\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle -\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac12\left|\frac{25}4\right.\right)$

Nullstellen berechnen

$f(x)=-x^2-x+6$

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-\left(x^2+x-6\right)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left(\mathrm x-2\right)\left(\mathrm x+3\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=2\;;\;{\mathrm x}_2=-3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(2\;\mathrm |\;0\right)\;\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-3\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-x^2-x+6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-0+6$

$f(0)=6$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;6\right)\;$

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$f(x)=-x^2-4x-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-4x-4$
	↓	Minus ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -\left(x^2+4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+4\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+4\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\left(x+2\right)^2-2^2+4\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -\left(x+2\right)^2$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-{\textstyle2}\left|\textstyle0\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=-x^2-4x-4$

Setze $f(x)=0$ . Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-\left(x^2+4x+4\right)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left(\left(x+2\right)\left(x+2\right)\right)$

$\rightarrow\;$ $\mathrm x=-2$ $\rightarrow\;$ Doppelte Nullstelle

Schnittpunkt mit der x-Achse

$\mathrm x=-2$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_\mathrm x\left(-2\;\mathrm |\;0\right)\;$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-x^2-4x-4$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-4\cdot0-4$

$f(0)=-4$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-4\right)\;$

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$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-6$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-6\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-12\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-12\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2-12\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{4}\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{8}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac12\left|-\frac{49}8\right.\right)$

Nullstellen berechnen

$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Setze $f(x)=0$ .

$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	↓
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+x-12\right)$
	↓	Satz von Vieta
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x+4\right)\left(x-3\right)\right)$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm x}_1=-4\;;\;{\mathrm x}_2=3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-4\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(3\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac12x^2+\frac12x-6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac120^2+\frac12\cdot0-6$

$f(0)=-6$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |-\;6\right)\;$

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$f(x)=\frac12x^2-4x+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2-4x+5$
	↓	$\frac{1}{2}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-4\cdot\frac{2}{1}x+5\cdot\frac{2}{1}\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+10\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2-8x+\left(\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{8}{2}\right)^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2+10\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left(x-4\right)^2-6\right)$
	↓	Distributivgesetz. anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-4\right)^2-6\cdot\frac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x-4\right)^2-3$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(4\left|\textstyle-3\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac12x^2-4x+5$

Setze $f(x)=0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=16-4\cdot\frac{1}{2}\cdot5=16-10=6$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{4+\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6$

$x_2=\frac{4-\sqrt6}{2\cdot\displaystyle\frac12}=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=\textstyle4\textstyle+\textstyle\sqrt6$ ; $x_2=\textstyle4\textstyle-\textstyle\sqrt6$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(4+\sqrt6\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(4-\sqrt6\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac12x^2-4x+5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac12\cdot0^2-4\cdot0+5$

$f(0)=5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |5\right)\;$

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$f(x)=x^2-4x+5$

$f(x)=\frac14x^2+x-1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}x^2+x-1$
	↓	$\frac{1}{4}$ ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac14\left(x^2+{\textstyle x}{\textstyle\cdot}\frac41-{\textstyle1}{\textstyle\cdot}\frac41\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac14\left(x^2+{\textstyle4}{\textstyle x}-\textstyle4\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle \frac14(x^2+4x+(\frac42)^2-(\frac42)^2-4)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle4}-\textstyle4\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac14\left({\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle8\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2{\textstyle-}{\textstyle8}{\textstyle\cdot}\frac14$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac14{\textstyle\left(x+2\right)}^2\textstyle-\textstyle2$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-2\left|\textstyle-2\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac14x^2+x-1$

Setze $f(x)=0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm D=1-4\cdot\frac14\cdot\left(-1\right)=1-{\textstyle1}\cdot\left(-1\right)=2$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{-1+\sqrt2}{2\cdot\displaystyle\frac14}=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle2\sqrt2=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8$

$x_1=\frac{-1+\sqrt2}{\displaystyle\frac12}=\textstyle-\textstyle2\textstyle-2\textstyle\sqrt2=\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=\textstyle-\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt8$ ; $x_2=\textstyle-\textstyle2\textstyle-\textstyle\sqrt8$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-2+\sqrt8\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(-2-\sqrt8\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac14x^2+x-1$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac140^2+0-1$

$f(0)=-1$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |\;-1\right)\;$

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$f(x)=4x^2+x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x^2+x-5$
	↓	4 ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle 4\left(x^2+\frac{x}{4}-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle 4\left(x^2+\frac x4+\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\textstyle\frac54\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle 4\left(\left(x+\frac{\frac14}2\right)^2-\left(\frac{\frac14}2\right)^2-\frac54\right)$
	$=$	$\displaystyle 4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\left(\frac18\right)^2-\frac54\right)$
	$=$	$\displaystyle 4\left(\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{64}\right)$
	↓	Distributivgesetz. anwenden.
	$=$	$\displaystyle 4\left(x+\frac18\right)^2-\frac{81}{16}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac18\left|\textstyle-\right.\frac{81}{16}\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=4x^2+x-5$

Setze $f(x)=0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm D=1-4\cdot4\cdot(-5)=1+80=81$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{-1+\sqrt{81}}{2\cdot4}=\frac{-1+9}8=\frac88=1$

$x_2=\frac{-1-\sqrt{81}}{2\cdot4}=\frac{-1-9}8=\frac{-10}8=-\frac54$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=1;$ $x_2=-\frac54$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\to P_x(-\frac54|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=4x^2+x-5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2+0-5$

$f(0)=-5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |-5\right)\;$

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$f(x)=-4x^2-x+5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -4x^2-x+5$
	↓	-4 ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle -4\left(x^2-\frac{x}{-4}+\frac{5}{-4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(x^2+\frac{x}{4}-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -4\left(x^2+\frac{x}{4}+\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\left(\frac{1}{8}\right)^2-\frac{5}{4}\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\frac{1}{64}-\frac{5}{4}\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -4\left(\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\frac{81}{64}\right)$
	↓	Distributivgesetz. anwenden.
	$=$	$\displaystyle -4\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-\frac{81}{64}\cdot\left(-4\right)$
	$=$	$\displaystyle -4\left(x+\frac{1}{8}\right)^2+\frac{81}{16}$

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(-\frac18\left|\frac{81}{16}\right.\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=-4x^2-x+5$

Setze $f(x)=0$ . Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot5=1-\left(-80\right)=1+80=81$

$\rightarrow\;$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=\frac{1+9}{-8}=\frac{10}{-8}=-\frac{5}{4}$

$x_2=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot\left(-4\right)}=\frac{1-9}{-8}=\frac{-8}{-8}=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=-\frac54\;\;;$ $x_2=1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(-\frac54\;\mathrm |\;0\right)\;;\;{\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(1\;\mathrm |\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-4x^2-x+5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-0+5$

$f(0)=5$

$\rightarrow\;$ ${\mathrm P}_y\left(0\;\mathrm |5\right)\;$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5660_vd3lnkQsnG.xml

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$f(x)=\frac13x^2-\frac23x-2$

$\displaystyle \mathrm{D}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}-4\cdot\frac{1}{3}\cdot(-2)$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{8}{3}$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{24}{9}$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}{9}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-4x+5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-2^2+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2-4+5$
	$=$	$\displaystyle \left(x-2\right)^2+1$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2$
	↓	$\frac13$ ausklammern. Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}x-2\cdot\frac{3}{1}\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x-6\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x^2-2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-6\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(\left(x-1\right)^2-7\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-1\right)^2-\frac{7}{3}$