Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 2 x + 5$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben
$=$ ${(x + 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
$=$ ${(x + 1)}^{2} - 1 + 5$
$=$ ${(x + 1)}^{2} + 4$
↓
Scheitelpunkt ablesen.
$\to$ Scheitelpunkt: $S (- 1 | 4)$
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$f (x) = x^{2} + 4 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 4 x + 1$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben.
$=$ ${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 4 + 1$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 3$
↓
Scheitelpunkt ablesen
$\to$ Scheitelpunkt: $S (- 2 | - 3)$
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$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform einer Parabel
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 4 x + 1$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben.
$=$ ${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
$=$ ${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
$=$ ${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$
$=$ ${(x - 2)}^{2} - 3$
↓
Scheitelpunkt ablesen.
$\to$ Scheitelpunkt: $S (2 | - 3)$
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$f (x) = x^{2} - 3 x + 3,5$

$f (x) = x^{2} + x - 3$

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$

$f (x) = - x^{2} + 5 x - 5$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 2$

$f (x) = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{6}$

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 2 x + 5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	${(x + 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
	$=$	${(x + 1)}^{2} - 1 + 5$
	$=$	${(x + 1)}^{2} + 4$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 4 + 1$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 3 x + 3,5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 3,5$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 3,5$
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 3,5$
	↓	$\frac{9}{4} = 2,25$
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} - 2,25 + 3,5$
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} + 1,25$
	↓	$1,25 = \frac{5}{4}$ Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} + x - 3$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 3$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 3$
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} - 3$
	↓	3 in einen unechten Bruch umwandeln
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{12}$
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$
	$=$	$- (x^{2} - 2 x - 1)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 1)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$- ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 1)$
	$=$	$- ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} - 1)$
	$=$	$- ({(x - 1)}^{2} - 1 - 1)$
	$=$	$- ({(x - 1)}^{2} - 2)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x - 1)}^{2} + 2$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 5 x - 5$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$	$- (x^{2} - 5 x + 5)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- (x^{2} - 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5)$
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + 5)$
	↓	5 in einen unechten Bruch umschreiben
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + \frac{20}{4})$
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{5}{4})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2$
	↓	Distributivgesetz anweden. $\frac{1}{2}$ ausklammern.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + x : \frac{1}{2} + 2 : \frac{1}{2})$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + x \cdot \frac{2}{1} + 2 \cdot \frac{2}{1})$
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + 4)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 4)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 4)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + 1)}^{2} - 1^{2} + 4)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + 1)}^{2} - 1 + 4)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + 1)}^{2} + 3)$
	↓	Distributivgesetz anweden.
	$=$	$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3$
	$=$	$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + \frac{3}{2}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$f (x)$	$=$	$- \frac{3}{4} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{6}$
	↓	Distributivgesetz anwenden und $- \frac{3}{4}$ ausklammern.
	$=$	$- \frac{3}{4} (x^{2} - \frac{8}{9} x + \frac{2}{9})$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- \frac{3}{4} (x^{2} - \frac{8}{9} x + {(\frac{4}{9})}^{2} - {(\frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{9})$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} - {(\frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{9})$
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} - \frac{16}{81} + \frac{2}{9})$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} - \frac{16}{81} + \frac{18}{81})$
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{81})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- \frac{3}{4} {(x - \frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{81} \cdot (- \frac{3}{4})$
	↓	Mit 3 und 2 kürzen.
	$=$	$- \frac{3}{4} {(x - \frac{4}{9})}^{2} + \frac{1}{27} \cdot (- \frac{1}{2})$
	$=$	$- \frac{3}{4} {(x - \frac{4}{9})}^{2} - \frac{1}{54}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$
	↓	Distributivgesetz anweden. $\frac{1}{3}$ ausklammern.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - \frac{2}{3} x : \frac{1}{3} + \frac{5}{3} : \frac{1}{3})$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - \frac{2}{3} x \cdot \frac{3}{1} + \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1})$
	↓	Jeweils mit 3 kürzen.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - \frac{2}{1} x \cdot \frac{1}{1} + \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{1})$
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + 5)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5)$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} + 5)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1 + 5)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} + 4)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} + 4 \cdot \frac{1}{3}$
	$=$	$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} + \frac{4}{3}$

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