$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

Distributivgesetz anwenden.  $-\frac12$ ausklammern.

$=-\frac{1}{2}\left(x^2-4x-2\right)=$

Quadratische Ergänzung.

$=-\frac{1}{2}\left(x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-2\right)=$

Schreibe in eine Binomische Formel um.

$=-\frac{1}{2}\left(\left(x-\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2-2\right)=$

$=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle2}^2-2\right)=$

$=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-{\textstyle4}-2\right)=$

$=-\frac12\left(\left(x-\textstyle2\right)^2-6\right)=$

Wende das Distributivgesetz an.

$=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2-6\cdot\left(-\frac12\right)=$

$=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\rightarrow\;$ Scheitelpunkt: $\mathrm S\left(2\;\left|\;3\right.\right)$

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=2^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1=$

$=4-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=$

$=4+2=6$

→ 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.

$x_1=\frac{-2+\sqrt{D}}{2\cdot (-0{,}5)}=2-\sqrt{6}$

$→ P_{x_1}\left(2-\sqrt6\vert\;0\right)Px1​​(2−6​∣0)$

$x_2=\frac{-2-\sqrt D}{2\cdot(-0{,}5)}=\textstyle2\textstyle+\textstyle\sqrt6$

$\rightarrow\;$ $P_{x_1}\left(2+\sqrt6\vert\;0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

Setze x gleich 0.

$f\left(0\right)=-\frac{1}{2}0^2+2\cdot 0+1=1$

$\rightarrow\;$ $P_y\left(0\vert\;1\right)$

$P`\left(-3\vert\;-1\right)$

0 $\rightarrow\;$ 3

Verschiebung um 3 Einheiten nach links.

-1 $\rightarrow\;$ 1

Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.

Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.

$f\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x-\textstyle2\right)^2\textstyle+\textstyle3$ $\rightarrow\;$$g\left(\mathrm x\right)=-\frac12\left(x\textstyle+\textstyle1\right)^2\textstyle+\textstyle1$

Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.

$=-\frac12{\textstyle\left(x^2+2x+1\right)}+1\textstyle=$

$=-\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}+1=$

$=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$

Ansatz: $f(x)=g(x)$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1$ ;

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}x^2+2x+1=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}$

Nach x auflösen.

$\Leftrightarrow 2x+1=-x+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow$ $3x=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow$ $x=-\frac{1}{6}$

Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.

$f\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=$

$=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{36}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=$

$=-\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=$

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\rightarrow\;$$6$

$=-\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=$

$=-\frac{1}{72}+\frac{4}{6}=$

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\rightarrow\;$72

$=-\frac{1}{72}+\frac{48}{72}=$

$=\frac{47}{72}$

$\rightarrow\; \mathrm S\left(-\frac16\vert\;\frac{47}{72}\right)$