Den Scheitel der Prabel kannst du im Koordinatensystem ablesen. Er liegt bei $S(3|4)$.

Bestimme nun den Öffnungsfaktor $a$. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, hat $a$ ein negatives Vorzeichen.

Allgemein hat eine Parabel in Scheitelpunktsform die Form:

$f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$

Setze den Scheitel ein:

$f(x)=a(x-3)^2+4$

Der Punkt $(1|0)$ liegt auf dem Graphen. Setze den Punkt ein, um $a$ zu bestimmen:

$0=a(1-3)^2+4$

$\Rightarrow a=-1$

Gib die vollständige Parabelgleichung an:

$f(x)=-(x-3)^2+4$

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:

$f(x)=-(x-3)^2+4$

Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge, also:

$D_f=\mathbb{R}$

Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.

$f(x)=-(x-3)^2+4$

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .

$y_{\max}=4$

Berechne die Nullstellen von $f(x)=-(x-3)^2+4$.

Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.

$x_1=1\ und\ x_2=5$

Gib die Wertemenge der Funktion an.

Aus Teilaufgabe c) weißt du bereits, dass $y_{max}=4$ ist.

Die Wertemenge der Funktion muss also kleiner als $y=4$ sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.

Die y-Werte werden für unendlich große Zahlen und unendlich kleine Zahlen unendlich klein. Somit ist der Wertebereich:

$W=]−∞;4]$

Berechne die Nullstellen der Funktion.

$f(x)=-(x-3)^2+4$

Setze $x=1$ in die Funktionsgleichung ein:

$f_1(1)=-(1-3)^2+4=-2^2+4=-4+4=0$

$\;\;\Rightarrow\;\;x=1$ ist eine Nullstelle.

Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein.

$f(5)=-(5-3)^2+4=-4+4=0$

$\;\;\Rightarrow\;\;x=5$ ist eine Nullstelle.