Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit f(x)=x2+tx+1 verlÀuft vollstÀndig oberhalb der x-Achse.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
x2+tx+1=0Diskriminante: D=t2â4.
Als Bedingung dafĂŒr, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun D=t2â4<0.
t2â4<0âtâ]â2;2[Daher liegt t im Intervall ]â2;2[.
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
f(x)=x2+tx+1;xâR
Der Graph der Funktion f(x) Â soll oberhalb der x- Achse verlaufen.
Daraus folgt fĂŒr alle Werte f(x)>0.
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der x-Achse liegen.
f(x) = x2+tx+1 â Quadratische ErgĂ€nzung
= x2+tx+(2tâ)2â(2tâ)2+1 â Binom bilden
= (x+2tâ)2+1â(2tâ)2 â Scheitelpunktsform bestimmen
= (x+2tâ)2+1â4t2â Der Scheitelpunkt ist also S(â2tââŁ1â4t2â).
Die y-Koordinate des Scheitels muss oberhalb der x-Achse liegen also f(t)>0 . Daraus folgt die Ungleichung:
1â4t2â>0ât2<4
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter t liegt im Intervall ]â2;2[ .
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Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=âx2âtxâ2 liegt auf der x-Achse.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=âx2âtxâ2
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung âx2âtxâ2=0 genau eine Lösung. FĂŒr die Diskriminante muss also D=0 gelten.
D=t2â4â (â2)â (â1)=t2â8=0
Also ist t=8â oder t=â8â.
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = âx2âtxâ2 = â[x2+tx+4t2ââ4t2â]â2 = â[(x+2tâ)2â4t2â]â2 = (x+2tâ)2+4t2ââ2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (â2tââŁ4t2ââ2).
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit 0 ist, muss 4t2ââ2=0 gelten.
Also: t2=8 und damit t=8â oder t=â8â.
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Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=âx2âtxâ2 liegt auf der y-Achse.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=âx2âtxâ2
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss f(x)=f(âx) fĂŒr alle xâR gelten.
Damit gilt: â(x)2âtxâ2=â(âx)2ât(âx)â2
Also: âtx=tx â2tx=0 ât=0.
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = âx2âtxâ2 â ErgĂ€nze quadratisch
= â[x2+tx+4t2ââ4t2â]â2 â Binomische Formel
= â[(x+2tâ)2â4t2â]â2 â Klammern auflösen
= â(x+2tâ)2+4t2ââ2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (â2tââŁ4t2ââ2).
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafĂŒr 0 sein muss, muss â2tâ=0 gelten, also t=0.
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