Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit f(x)=x2+tx+1 verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
Diskriminante: D=t2−4.
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun D=t2−4<0.
Daher liegt t im Intervall ]−2;2[.
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
f(x)=x2+tx+1;x∈R
Der Graph der Funktion f(x) soll oberhalb der x- Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte f(x)>0.
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der x-Achse liegen.
f(x) = x2+tx+1 ↓ Quadratische Ergänzung
= x2+tx+(2t)2−(2t)2+1 ↓ Binom bilden
= (x+2t)2+1−(2t)2 ↓ Scheitelpunktsform bestimmen
= (x+2t)2+1−4t2 Der Scheitelpunkt ist also S(−2t∣1−4t2).
Die y-Koordinate des Scheitels muss oberhalb der x-Achse liegen also f(t)>0 . Daraus folgt die Ungleichung:
1−4t2>0⇔t2<4
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter t liegt im Intervall ]−2;2[ .
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Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=−x2−tx−2 liegt auf der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=−x2−tx−2
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung −x2−tx−2=0 genau eine Lösung. Für die Diskriminante muss also D=0 gelten.
D=t2−4⋅(−2)⋅(−1)=t2−8=0
Also ist t=8 oder t=−8.
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = −x2−tx−2 = −[x2+tx+4t2−4t2]−2 = −[(x+2t)2−4t2]−2 = (x+2t)2+4t2−2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (−2t∣4t2−2).
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit 0 ist, muss 4t2−2=0 gelten.
Also: t2=8 und damit t=8 oder t=−8.
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Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit f(x)=−x2−tx−2 liegt auf der y-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
f(x)=−x2−tx−2
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss f(x)=f(−x) für alle x∈R gelten.
Damit gilt: −(x)2−tx−2=−(−x)2−t(−x)−2
Also: −tx=tx ⇒2tx=0 ⇒t=0.
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
f(x) = −x2−tx−2 ↓ Ergänze quadratisch
= −[x2+tx+4t2−4t2]−2 ↓ Binomische Formel
= −[(x+2t)2−4t2]−2 ↓ Klammern auflösen
= −(x+2t)2+4t2−2 Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei (−2t∣4t2−2).
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür 0 sein muss, muss −2t=0 gelten, also t=0.
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