Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $ff$ und $gg$ sollen für $x=-1x=-1$ und $x=\mathrm{0,5}x=0\{,\}5$, den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x=-1x=-1$ und $x=\mathrm{0,5}x=0\{,\}5$ in $g(x)g(x)$ einsetzt.

$g(x)=2x-1g(x)=2x-1$

$g(-1)=2\cdot (-1)-1=-3g(-1)=2\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)-1=-3$

$\to \backslash ;\backslash ;\backslash rightarrow$ ${\mathrm{P}}_1(-1\mathrm{\mid }-3)\{\backslash mathrm\; P\}\_1\backslash left(-1\backslash vert-3\backslash right)$

$g(\mathrm{0,5})=2\cdot \mathrm{0,5}-1=0g(0\{,\}5)=2\backslash cdot0\{,\}5-1=0$

$\to \backslash ;\backslash ;\backslash rightarrow$ ${\mathrm{P}}_2\left(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }0\right)\{\backslash mathrm\; P\}\_2\backslash left(0\{,\}5\backslash vert\backslash ;0\backslash right)$

Die Punkte $P_{1}P\_1$ und $P_{2}P\_2$ müssen nun auch auf dem Graphen von $ff$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_{1}P\_1$ und $P_{2}P\_2$ in den Funktionsterm von $ff$

$f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+3f(x)=a\_2x^2+a\_1x+3$

Setze ${\mathrm{P}}_1(-1\mathrm{\mid }-3)\backslash mathrm\{P\}\_1\backslash left(-1|-3\backslash right)$ in $f(x)f(x)$ ein.

Setze ${\mathrm{P}}_2\left(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }0\right)\{\backslash mathrm\; P\}\_2\backslash left(0\{,\}5\backslash vert\backslash ;0\backslash right)$ in $f(x)f(x)$ ein.

$a_1\text{}a\_1$ und $a_2\text{}a\_2$ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f(\mathrm{0,5})=0f(0\{,\}5)=0$ ist und  $P_{2}P\_2$​ auf dem Graphen von $ff$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ($a_{1}a\_1$ und $a_{2}a\_2$) und kannst dieses lösen.

Nimm die $II)II)$ Gleichung $\cdot 4\backslash cdot\; 4$, um sie zu vereinfachen.

Wende nun das Additionsverfahren an.

Jetzt kannst du $a_{1}a\_1$ in Gleichung $I)I)$, $II)II)$ oder $I{I}^{\mathrm{\prime }})II\text{'})$ einsetzen und nach $a_{2}a\_2$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)I)$ liefert:

Du hast also jetzt $a_{1}a\_1$ und $a_{2}a\_2$ bestimmt. Setz die Werte noch in $ff$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $f(x)=-8{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3f(x)=-8\backslash mathrm\; x^2-2\backslash mathrm\; x+3$