Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

Es gilt: $\overline{PQ}=\vert y_P-y_Q\vert=\vert-u^2-3u-0{,}5u(u+3)\vert=\vert-1{,}5u^2-4{,}5u\vert$

Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden $x=-1{,}5$, gilt für die x-Koordinate der Punkte $R$ und $S$:

$x_R=x_S=-u-3$

Damit folgt: $\overline{PS}=\vert x_P-x_S\vert=\vert2u+3\vert$ und für $u=-1$ ergibt sich: ${\overline{PS}}_{u=-1}=\vert2\cdot(-1)+3\vert=1$

Da für $x\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ die Funktion $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also $\overline{PQ}=-1{,}5u^2-4{,}5u$.

Für $u=-1$ gilt somit für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks PQRS: $A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\;\cdot\;{\overline{PS}}_{u=-1}=-1{,}5+4{,}5=3$

Der Umfang beträgt allgemein: $U=2(\vert2u+3\vert-1{,}5u^2-4{,}5u)$

Damit sich die Graphen der Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)+c$ an der Stelle $x$ berühren, muss zunächst $f(x)=g(x)+c$ gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion $f(x)−(g(x)+c)$ bei $x$ eine doppelte Nullstelle besitzt.

$f(x)=g(x)+c$

$\Leftrightarrow\;-x^2-3x=0{,}5x(x+3)+c$

$\Leftrightarrow\;-1{,}5x^2-4{,}5x-c=0$

Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante $D=0$ gelten.

Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als $\frac{-(-4{,}5)\pm\sqrt D}{2\cdot(-1{,}5)}=-1{,}5$.

Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von $f$ ist, gilt:$B=S=(-1{,}5|2{,}25)$.

Für $f(a)-f(a+1)=4$ muss also $a=0$ gelten.