Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ mit $f(x)=-x^2-3x;\;x\in\mathbb{R}$ und $g(x)=0{,}5x(x+3);\;x\in\mathbb{R}$

Zeichne die Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich $f(x)$ und $g(x)$ auf der x-Achse schneiden.

$S\left(-1{,}5|2{,}25\right)$ ist der Scheitel von $f(x)$ .

Gib den Scheitel von $g(x)$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^2-3x\\g\left(x\right)=0{,}5x\left(x+3\right)\end{array}$

Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. $\rightarrow$ Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(0\vert0\right)$

Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-3x$
	↓	$f(x)$ gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-3x$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -3x$	$\displaystyle :x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x\left(x+3\right)$
	↓	$g(x)$ gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+3\right)$
	↓	Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x+3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)$

Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.

Scheitel bestimmen

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x\left(x+3\right)$
	↓	Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. $\rightarrow$ Distributivgesetz
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x^2+3x\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umformen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\cdot0{,}5$	$\displaystyle 0{,}5=\frac{1}{2}$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}$

$\rightarrow$ $\mathrm S\left(-\frac32\vert-\frac98\right)$

Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5788_0f4JrcVc16.xml

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Die Gerade $x=u$ schneidet den Graphen von $f(x)$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g(x)$ im Punkt $Q$ . Gib $P$ und $Q$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Funktionen
Einsetzen von $\mathrm x=\mathrm u$ in $f(x)$ :
$\mathrm f(\mathrm u)=-\mathrm u^2-3\mathrm u$
Ablesen der Koordinaten.
$\rightarrow$ $\mathrm P\left(\mathrm u\vert-\mathrm u^2-3\mathrm u\right)$
Einsetzen von $\mathrm x=\mathrm u$ in $g(x)$ :
$g(\mathrm u)=0{,}5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)$
$\rightarrow$ $\mathrm Q\left(\mathrm u\vert0{,}5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)\right)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Rechtecke
Für $u\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für $u=-1$ und den Umfang $U$ in Abhängigkeit von $u$ .
Im Bild ist $u=-2{,}5$ :

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtecke
Es gilt: $\overline{PQ}=\vert y_P-y_Q\vert=\vert-u^2-3u-0{,}5u(u+3)\vert=\vert-1{,}5u^2-4{,}5u\vert$
Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden $x=-1{,}5$ , gilt für die x-Koordinate der Punkte $R$ und $S$ :
$x_R=x_S=-u-3$
Damit folgt: $\overline{PS}=\vert x_P-x_S\vert=\vert2u+3\vert$ und für $u=-1$ ergibt sich: ${\overline{PS}}_{u=-1}=\vert2\cdot(-1)+3\vert=1$
Da für $x\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ die Funktion $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also $\overline{PQ}=-1{,}5u^2-4{,}5u$ .
Für $u=-1$ gilt somit für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks PQRS: $A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\;\cdot\;{\overline{PS}}_{u=-1}=-1{,}5+4{,}5=3$
Der Umfang beträgt allgemein: $U=2(\vert2u+3\vert-1{,}5u^2-4{,}5u)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Verschiebe die Parabel $g(x)$ in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von $f(x)$ berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes $B$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Damit sich die Graphen der Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)+c$ an der Stelle $x$ berühren, muss zunächst $f(x)=g(x)+c$ gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion $f(x)−(g(x)+c)$ bei $x$ eine doppelte Nullstelle besitzt.
$f(x)=g(x)+c$
$\Leftrightarrow\;-x^2-3x=0{,}5x(x+3)+c$
$\Leftrightarrow\;-1{,}5x^2-4{,}5x-c=0$
Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante $D=0$ gelten.
Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als $\frac{-(-4{,}5)\pm\sqrt D}{2\cdot(-1{,}5)}=-1{,}5$ .
Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von $f$ ist, gilt: $B=S=(-1{,}5|2{,}25)$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Bestimme $a$ so, dass $f(a)-f(a+1)=4$ ist.

$\displaystyle f\left(a\right)-f\left(a+1\right)$	$=$	$\displaystyle -a^2-3a+(a+1)^2+3a+3$
	↓	Binomische Formel ausmultiplizieren:
	$=$	$\displaystyle -a^2+a^2+2a+1+3$
	$=$	$\displaystyle 2a+4$

Scheitel bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Rechtecke

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?