Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ mit $f(x)=-x^2-3x;\;x\in\mathbb{R}$ und $g(x)=0{,}5x(x+3);\;x\in\mathbb{R}$

Zeichne die Graphen von $f (x)$ und $g (x)$ in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich $f (x)$ und $g (x)$ auf der x-Achse schneiden.

$S\left(-1{,}5|2{,}25\right)$ ist der Scheitel von $f (x)$ .

Gib den Scheitel von $g (x)$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f\left(x\right)=-x^2-3x\\g\left(x\right)=0{,}5x\left(x+3\right)\end{array}$

Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. $\rightarrow$ Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x1}\left(0\vert0\right)$

Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-3x$
	↓	$f (x)$ gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -x^2-3x$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -3x$	$\displaystyle :x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x\left(x+3\right)$
	↓	$g (x)$ gleich 0 setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+3\right)$
	↓	Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x+3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\rightarrow$ ${\mathrm P}_{\mathrm x2}\left(0\vert-3\right)$

Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.

Scheitel bestimmen

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x\left(x+3\right)$
	↓	Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. $\rightarrow$ Distributivgesetz
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x^2+3x\right)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$
	↓	In eine Binomische Formel umformen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\cdot0{,}5$	$\displaystyle 0{,}5=\frac{1}{2}$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{8}$

$\rightarrow$ $\mathrm S\left(-\frac32\vert-\frac98\right)$

Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5788_0f4JrcVc16.xml

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Die Gerade $x = u$ schneidet den Graphen von $f (x)$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g (x)$ im Punkt $Q$ . Gib $P$ und $Q$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt von Funktionen
Einsetzen von $\mathrm x=\mathrm u$ in $f (x)$ :
$\mathrm f(\mathrm u)=-\mathrm u^2-3\mathrm u$
Ablesen der Koordinaten.
$\rightarrow$ $\mathrm P\left(\mathrm u\vert-\mathrm u^2-3\mathrm u\right)$
Einsetzen von $\mathrm x=\mathrm u$ in $g (x)$ :
$g(\mathrm u)=0{,}5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)$
$\rightarrow$ $\mathrm Q\left(\mathrm u\vert0{,}5\mathrm u\left(\mathrm u+3\right)\right)$
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Rechtecke
Für $u\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für $u = - 1$ und den Umfang $U$ in Abhängigkeit von $u$ .
Im Bild ist $u = - 2,5$ :

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtecke
Es gilt: $\overline{PQ}=\vert y_P-y_Q\vert=\vert-u^2-3u-0{,}5u(u+3)\vert=\vert-1{,}5u^2-4{,}5u\vert$
Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden $x = - 1,5$ , gilt für die x-Koordinate der Punkte $R$ und $S$ :
$x_{R} = x_{S} = - u - 3$
Damit folgt: $\overline{PS}=\vert x_P-x_S\vert=\vert2u+3\vert$ und für $u = - 1$ ergibt sich: ${\overline{PS}}_{u=-1}=\vert2\cdot(-1)+3\vert=1$
Da für $x\in\;\rbrack-3;0\lbrack$ die Funktion $f (x)$ oberhalb von $g (x)$ verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also $\overline{PQ}=-1{,}5u^2-4{,}5u$ .
Für $u = - 1$ gilt somit für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks PQRS: $A_{u=-1}={\overline{PQ}}_{u=-1}\;\cdot\;{\overline{PS}}_{u=-1}=-1{,}5+4{,}5=3$
Der Umfang beträgt allgemein: $U=2(\vert2u+3\vert-1{,}5u^2-4{,}5u)$
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Verschiebe die Parabel $g (x)$ in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von $f (x)$ berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes $B$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabeln
Damit sich die Graphen der Funktion $f (x)$ und der verschobenen Funktion $g (x) + c$ an der Stelle $x$ berühren, muss zunächst $f (x) = g (x) + c$ gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion $f (x) - (g (x) + c)$ bei $x$ eine doppelte Nullstelle besitzt.
$f (x) = g (x) + c$
$\Leftrightarrow\;-x^2-3x=0{,}5x(x+3)+c$
$\Leftrightarrow\;-1{,}5x^2-4{,}5x-c=0$
Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante $D = 0$ gelten.
Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als $\frac{-(-4{,}5)\pm\sqrt D}{2\cdot(-1{,}5)}=-1{,}5$ .
Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von $f$ ist, gilt: $B = S = (- 1,5 ∣ 2,25)$ .
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Bestimme $a$ so, dass $f (a) - f (a + 1) = 4$ ist.

$\displaystyle f\left(a\right)-f\left(a+1\right)$	$=$	$\displaystyle -a^2-3a+(a+1)^2+3a+3$
	↓	Binomische Formel ausmultiplizieren:
	$=$	$\displaystyle -a^2+a^2+2a+1+3$
	$=$	$\displaystyle 2a+4$

Scheitel bestimmen

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Rechtecke

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