Anwendung des Satz des Pythagoras

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Textaufgabe, bei der der Satz des Pythagoras verwendet wird.

Die benötigte Gesamtlänge der Stäbe ergibt sich aus der Stablänge der beiden Diagonalen, der Stablänge des Umfangs des Doppeltors und der Länge der beiden mittleren Stäbe.

Gesamtlänge der mittleren Stäbe

Beide Stäbe sind laut Skizze $2570\text{mm}$ lang. Somit ist die Gesamtlänge:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_1 & = & 2\cdot 2570\text{mm} \\& = & 5140\text{mm} \end{array}$

Umfang des Doppeltors

Beim Doppeltor handelt es sich um ein Rechteck. Dessen Umfang kannst du wie folgt berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}L_2 & = & 2\cdot 3100\text{mm} & + & 2 \cdot 2570\text{mm} \\& = & 6200\text{mm} & + & 5140\text{mm} \\& = & 11340 \text{mm} \end{array}$

Stablänge der Diagonalen

Beide Stäbe sind die Diagonalen der inneren, rechteckigen Flächen. Um die Stäblänge auszurechnen benötigst du die Länge und Breite der Innenflächen.Mit Hilfe der Skizze ergibt sich:

$\text{Länge} = (\text{Doppeltorlänge} : 2) - (2 \cdot \text{Stabbreite})$

$\text{Breite} = \text{Doppeltorhöhe} - (2 \cdot \text{Stabbreite})$

Somit ist die Länge:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}l & = & (3100\text{mm} : 2) & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 1550\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 1450\text{mm} \end{array}$

Und die Breite:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}b & = & 2570\text{mm} & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 2570\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 2470\text{mm} \end{array}$

Um die Stablänge einer Diagonalen zu berechnen, wenden wir den Satz des Pythagoras an:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}d & = & \sqrt{l^2 + b^2} \\& = & \sqrt{(1450\text{mm})^2 + (2470\text{mm})^2} \\& = & 2864{,}15…\text{mm} \\& \approx & 2864\text{mm} \end{array}$

Die Länge beider Stäbe entspricht also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_3 & = & 2 \cdot d \\& \approx & 2 \cdot 2864\text{mm} \\& = & 5728\text{mm} \end{array}$

Gesamte Stablänge

Die benötigte Gesamtlänge ist somit:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclclcl}L & = & L_1 & + & L_2 & L_3 \\& \approx & 5140\text{mm} & + & 11340\text{mm} & + & 5728\text{mm} \\& = & 22208\text{mm} \end{array}$

Es wird also eine Gesamtlänge von etwa $22208\text{mm} = 22{,}208\text{m}$ an Stäben benötigt.