Die freie Lernplattform

Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

Hier findest du gemischte Aufgaben zum Satz des Pythagoras. Lerne, den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck anzuwenden!

1
Der Satz des Pythagoras
Stelle die richtige Gleichung für die Seiten des Dreiecks $ABC$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Lösung
Richtige Zuordnung
Es gibt zwei Möglichkeiten:
$m^2+u^2=r^2$
$u^2+m^2=r^2$
Bestimme die Katheten und die Hypotenuse des Dreiecks.
Der Satz des Pythagoras stellt diese Seiten in die folgende Gleichung:
$\text{Kathete}_1^2+\text{Kathete}_2^2=\text{Hypotenuse}^2$
2
Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Satz des Pythagoras
Benutze den Satz des Pythagoras.
a) $t^2=s^2+r^2$
b) $u^2=v^2+w^2$
c) $a^2=b^2+c^2$
d) $y^2=x^2+z^2$
e) $b^2=a^2+c^2$
Der Satz des Pythagoras lautet: $a^2+b^2=c^2$
Dabei ist es egal, wie die Seiten bezeichnet sind. $x^2+y^2=z^2$ gilt genauso!
Wichtig ist nur: Die Seite, die gegenüber dem Rechten Winkel liegt, also die längste Seite (Hypotenuse), ist die Seite c und steht in der Formel immer alleine auf einer Seite!
Die beiden Seiten, die den Rechten Winkel einschließen, sind die Seiten a und b (Katheten)!

Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen.

Bild

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Teilaufgabe a)

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \left(8\text{cm}\right)^2+\left(5\text{cm}\right)^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 64\text{cm}^2+25\text{cm}^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 89\text{cm}^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{89}$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle \pm9{,}43$

Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.

Ergebnis: $x=\sqrt{89}\text{cm}\approx9{,}43\text{cm}$

Teilaufgabe b)

$\displaystyle y^2$	$=$	$\displaystyle \left(9\text{cm}\right)^2+\left(2\text{cm}\right)^2$
$\displaystyle y^2$	$=$	$\displaystyle 81\text{cm}^2+4\text{cm}^2$
$\displaystyle y^2$	$=$	$\displaystyle 85\text{cm}^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{85}\text{cm}$
$\displaystyle y$	$≈$	$\displaystyle 9{,}22\ \text{cm}$

Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.

Ergebnis: $y=\sqrt{85}\text{cm}\approx9{,}22\text{cm}$

Teilaufgabe c)

$\displaystyle \left(15\text{cm}\right)^2$	$=$	$\displaystyle z^2+\left(10\text{cm}\right)^2$
$\displaystyle 225\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle z^2+100\text{cm}^2$	$\displaystyle -100\ \text{cm}^2$
$\displaystyle 125\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle z^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \pm\sqrt{125}\text{cm}$	$=$	$\displaystyle z$
$\displaystyle 11{,}18\ \text{cm}$	$≈$	$\displaystyle z$

Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.

Ergebnis: $z=\sqrt{125}\text{cm}\approx11{,}18\text{cm}$

Teilaufgabe d)

$\displaystyle \left(45\text{cm}\right)^2$	$=$	$\displaystyle u^2+\left(28\text{cm}\right)^2$
$\displaystyle 2025\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle u^2+784\text{cm}^2$	$\displaystyle -784\text{cm}^2$
$\displaystyle 1241\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle u^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \pm\sqrt{1241}\text{cm}\$	$=$	$\displaystyle u$
$\displaystyle 35{,}23\text{cm}\$	$=$	$\displaystyle u$

Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.

Ergebnis: $u=\sqrt{1241}\text{cm}\approx35{,}23\text{cm}$

Teilaufgabe e)

$\displaystyle \left(12\text{cm}\right)^2$	$=$	$\displaystyle v^2+\left(8\text{cm}\right)^2$
$\displaystyle 144\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle v^2+64\text{cm}^2$	$\displaystyle -64\text{cm}^2$
$\displaystyle 80\text{cm}^2$	$=$	$\displaystyle v^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe den Wurzel.
$\displaystyle \pm\sqrt{80}\text{cm}\$	$=$	$\displaystyle v$
$\displaystyle 8{,}94\text{cm}\$	$≈$	$\displaystyle v$

Da Seitenlängen nur positiv sein können, kannst du die negative Lösung ignorieren.

Ergebnis: $v=\sqrt{80}\text{cm}\approx8{,}94\text{cm}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

4
Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks $ABCD$ .
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
$d^2=(12\,\mathrm{cm})^2+(5\,\mathrm{cm})^2$
$d^2=144\,\mathrm{cm}^2+25\,\mathrm{cm}^2$
$d^2=169\,\mathrm{cm}^2$
Ziehe die Wurzel aus 169
$d=13\,\mathrm{cm}$
Die Diagonale $d$ ist $13\,\mathrm{cm}$ .
5
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Doppeltor gebaut werden. Die Maße sind hier jeweils in $\text{mm}$ angegeben. Der Querschnitt der Stäbe ist ein Quadrat mit Kantenlänge $50\text{mm}$ .
Berechne die Gesamtlänge an Stäben, die mindestens benötigt wird.
Beachte, wie die Profile zusammengebaut werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Anwendung des Satz des Pythagoras
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Textaufgabe, bei der der Satz des Pythagoras verwendet wird.
Die benötigte Gesamtlänge der Stäbe ergibt sich aus der Stablänge der beiden Diagonalen, der Stablänge des Umfangs des Doppeltors und der Länge der beiden mittleren Stäbe.
Gesamtlänge der mittleren Stäbe
Beide Stäbe sind laut Skizze $2570\text{mm}$ lang. Somit ist die Gesamtlänge:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_1 & = & 2\cdot 2570\text{mm} \\& = & 5140\text{mm} \end{array}$
Umfang des Doppeltors
Beim Doppeltor handelt es sich um ein Rechteck. Dessen Umfang kannst du wie folgt berechnen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}L_2 & = & 2\cdot 3100\text{mm} & + & 2 \cdot 2570\text{mm} \\& = & 6200\text{mm} & + & 5140\text{mm} \\& = & 11340 \text{mm} \end{array}$
Stablänge der Diagonalen
Beide Stäbe sind die Diagonalen der inneren, rechteckigen Flächen. Um die Stäblänge auszurechnen benötigst du die Länge und Breite der Innenflächen.Mit Hilfe der Skizze ergibt sich:
$\text{Länge} = (\text{Doppeltorlänge} : 2) - (2 \cdot \text{Stabbreite})$
$\text{Breite} = \text{Doppeltorhöhe} - (2 \cdot \text{Stabbreite})$
Somit ist die Länge:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}l & = & (3100\text{mm} : 2) & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 1550\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 1450\text{mm} \end{array}$
Und die Breite:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclcl}b & = & 2570\text{mm} & - & 2 \cdot 50\text{mm} \\& = & 2570\text{mm} & - & 100\text{mm} \\& = & 2470\text{mm} \end{array}$
Um die Stablänge einer Diagonalen zu berechnen, wenden wir den Satz des Pythagoras an:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}d & = & \sqrt{l^2 + b^2} \\& = & \sqrt{(1450\text{mm})^2 + (2470\text{mm})^2} \\& = & 2864{,}15…\text{mm} \\& \approx & 2864\text{mm} \end{array}$
Die Länge beider Stäbe entspricht also:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_3 & = & 2 \cdot d \\& \approx & 2 \cdot 2864\text{mm} \\& = & 5728\text{mm} \end{array}$
Gesamte Stablänge
Die benötigte Gesamtlänge ist somit:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclclcl}L & = & L_1 & + & L_2 & L_3 \\& \approx & 5140\text{mm} & + & 11340\text{mm} & + & 5728\text{mm} \\& = & 22208\text{mm} \end{array}$
Es wird also eine Gesamtlänge von etwa $22208\text{mm} = 22{,}208\text{m}$ an Stäben benötigt.

In der Mitte zwischen zwei Häusern soll an einem Spannseil eine Straßenlaterne aufgehängt werden. Das Spannseil hat genau eine Länge von $l = 6{,}4 \,\mathrm{m}$ .

Nachdem die Lampe angebracht wurde, hängt das Seil, wie aus nebenstehender Zeichnung zu sehen ist, etwas durch.

04_des

Um welche Länge wurde das Seil durch die Belastung gedehnt?
Wie viel % wird das Seil gedehnt?

7
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Anwendung in der Physik:
Geschwindigkeitspfeile werden oft zerlegt in Horizontalgeschwidigkeit $v_x$ und Vertikalgeschwindigkeit $v_y$ .
Dabei können $v_x$ und $v_y$ je nach Richtung (rechts/links bzw. oben/unten) positiv oder negativ sein.
Beim Vektor $v$ betrachten wir hier die Pfeillänge $\left|v\right|$ .
Ergänze die folgende Tabelle
$v_x$
5
6
3
7
$v_y$
12
-8
0,8
15
$\vert v \vert$
1
17
5
25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
$v_x$
5
6
0,6
8
3
7
$v_y$
12
-8
0,8
15
4
24
$\vert v \vert$
13
10
1
17
5
25
8
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Gartentor aus Vierkantprofil (40x40) gefertigt werden.
Bestimme die Gesamtlänge der benötigten Profilstäbe, wenn mit einem Verschnitt von 5% zu rechnen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnung der Länge der Diagonalen
Verwende den Satz von Pythagoras, um die Länge der Diagonale $S$ zu bestimmen.
$S = \sqrt{\left(800\,\mathrm{mm}\right)^2+\left(600\,\mathrm{mm}\right)^2}$
$\phantom{S} = 1000\,\mathrm{mm}$
$\phantom{S} = 1m$
Berechnung des Umfangs des Rechtecks
Berechne den Umfang der Seitenteile $S_T$
$S_T = 2 \cdot 880\,\mathrm{mm} + 2 \cdot 680\,\mathrm{mm}$
$\phantom{S_T} =3120\,\mathrm{mm}$
$\phantom{S_T}= 3{,}12\,\mathrm{m}$
Berechnung der Gesamtlänge
Addiere nun die beiden Teilergebnisse um die Gesamtlänge der benötigten Profilstäbe zu bestimmen. Den Verschnitt beachtest du erstmal nicht.
$S_{\text{ohne Verschnitt}} = S_T + S = 1\,\mathrm{m} + 3{,}12\,\mathrm{m} = 4{,}12\,\mathrm{m}$
$5\ \%$ Verschnitt wird anfallen. Das heißt $S_\text{ohne Verschnitt}$ sind $95\ \%\$ der benötigten Holzlänge $S_\text{Gesamt}$ .
$p\;=\;0{,}05$
Berechnung des Grundwerts
$S_{\text{Gesamt}}=\dfrac{S_{\text{ohne Verschnitt}}}{1-p}\ \\\phantom{S_{\text{mit Verschnitt}}} =\dfrac{4{,}12\text{m} }{0{,}95}\\\phantom{S_{\text{mit Verschnitt}}}\approx 4{,}337 \text{m}$
Die benötigte Gesamtlänge beträgt $S_{\text{Gesamt}} = 4{,}337\,\mathrm{m}$ .
9
Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge 7? Gib das Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge $a=7$ ?
In grüner Farbe eingezeichnet ist die Diagonale $\overline{AC}$ der unteren Fläche des Würfels, eines Quadrats, die nach dem Satz des Pythagoras die Länge $=a\sqrt2$ besitzt.
In roter Farbe ist die Raumdiagonale des Würfels mit Länge $d$ eingezeichnet.
In gelber Farbe ist die Kante $\overline{CG}$ des Würfels eingezeichnet, deren Länge $a$ ist. Der Trick besteht nun darin, dass das Dreieck $ACG$ rectwinklig ist - mit rechtem Winkel in $C$ . Daher lässt sich erneut der Satz des Phthygoras anwenden:
$\left(\sqrt2a\right)^2+a^2=\left(Länge\;Raumdiagonale\right)^2$
Längen sind immer nichtnegativ.
$\Rightarrow\sqrt{3a^2}=d$
Für $a=7$ gilt:
$d=\sqrt{3\cdot7^2}=7\cdot\sqrt3$
$\approx12{,}1\,LE$
$\Rightarrow$ Die Länge $d$ der Raumdiagonalen beträgt etwa $12{,}1$ Längeneinheiten.

Ist das Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c rechtwinklig?

a= 3 cm, b=4 cm, c= 5 cm
- Ja, es ist rechtwinklig.
- Nein, es ist nicht rechtwinklig.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kehrsatz zum Satz des Pythagoras
Setze die Seitenlängen ein:
$\displaystyle 3^2+4^2$ $=$ $\displaystyle 5^2$
↓
Berechne auf beiden Seiten.
$\displaystyle 9+16$ $=$ $\displaystyle 25$
$\displaystyle 25$ $=$ $\displaystyle 25$
Die Beziehung gilt, also ist das Dreieck rechtwinklig mit Hypothenuse c.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn für seine Seiten die Beziehung $a^2+b^2=c^2$ gilt, wobei c die längste Seite des Dreiecks und die potentielle Hypotenuse ist.

a= 5 cm, b=13 cm, c=12 cm

Ja, es ist rechtwinklig.
Nein, es ist nicht rechtwinklig.

Löse die folgenden Aufgaben

Ermittle die Formel für den Abstand $\overline{PQ}$ der Punkte $P(x_p \mid y_p)$ und $Q(x_q \mid y_q)$ . Mache dir die Formel anhand einer Skizze klar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Die Punkte $P$ und $Q$ sind zwei Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Punkte $P$ und $Q$ sind weiterhin die Endpunkte der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks werden aus der Abständen der Punkte $P$ und $Q$ voneinander in horizontaler ( $\Delta x$ ) und vertikaler Richtung ( $\Delta y$ ) gebildet.
Der Abstand $\overline{PQ}$ zwischen den Punkten $P$ und $Q$ ergibt sich somit aus der Wurzel der Quadrate der Differenzen $\Delta x=x_Q-x_P$ und $\Delta y=y_Q-y_P$ .
$\overline{PQ}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2},\;\Delta x=x_Q-x_P,\;\Delta y=y_Q-y_P$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Berechne die Seitenlängen des Dreiecks $ABC$ mit $A(3 \mid 2)$ , $B(1 \mid 1)$ , $C(5 \mid -2)$ .

Vom Satz des Pythagoras gilt auch die Umkehrung, d. h., gilt $a^2+b^2=c^2$ , so hat das Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel. Zeige damit, dass das Dreieck aus Teilaufgabe b) bei $A$ rechtwinklig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende längste Seite die Hypotenuse. Dieses wäre dann die Seite $\overline{BC}$ . Die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ wären die Katheten. Es ist zu überprüfen, ob:
Die Ergebnisse für die Seitenlängen können aus der Lösung der Teilaufgabe 2 übernommen werden.
$\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}=\sqrt{5+20}= 5$
Die Werte in der Rechnung werden aus der Lösung von Teilaufgabe b) übernommen.
Das Dreieck ist bei $A$ rechtwinklig
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Betrachte die Planfigur eines rechtwinkligen Dreiecks.

Stelle für die nebenstehende Figur drei Pythagoras-Formeln auf.
Stelle für die nebenstehende Figur drei Pythagoras-Formeln auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
$p^2+h^2=a^2;\;q^2+h^2=b^2;\;a^2+b^2=c^2$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Im rechtwinkligen Dreieck gilt auch der Kathetensatz $a^2=pc$ (ebenso $b^2=qc$ ), der z. B. mithilfe ähnlicher Dreiecke bewiesen werden kann. Setze damit (und mit Hilfe von Teilaufgabe 1) den hier vorgegebenen Ansatz fort und folgere damit den sogenannten Hohensatz: $pq=p(c-p)=h^2$

Bild

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in $\mathrm m$ ):

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben (auf zwei Nachkommastellen) mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Bild

Der längste Faden ist entweder so lang wie

die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ (denn um von $\mathrm E$ zu $\mathrm F$ zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu $\mathrm T$ webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

Bild

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ ist Seite im Dreieck $\triangle \mathrm{EHT}$ .

Dieses Dreieck hat bei $\mathrm H$ einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck $\triangle \mathrm{EHT}$ den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\left[\mathrm{ET}\right]$ .

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{HT}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$ .

$\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EH}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$ :

Bild

Die Strecke $\lbrack \mathrm{EH}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{EGH}$ am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm G$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{EH}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2$

$\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ und $\overline{\mathrm{GH}}=2{,}50\,\mathrm m$ sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3{,}40\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$

und rechne aus.

$\overline{\mathrm{EH}}^2=17{,}81\mathrm m^2$

Um von $\overline{\mathrm{EH}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EH}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$

Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EH}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$\overline{\mathrm{EH}}\approx4{,}22\;\mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EH}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EH}}$ :

Bild

Du hast bislang erhalten:

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

und

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$ .

Setze nun $\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$ in die obere Gleichung ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2$	$=$	$\displaystyle \left( \sqrt{17{,}81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$
	$=$	$\displaystyle 21{,}9309\, \mathrm m ^2$
	↓	$\overline{\mathrm{ET}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{ET}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{21{,}9309}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{21{,}9309}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$≈$	$\displaystyle 4{,}68 \, \mathrm m$

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

Bild

Die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ ist Seite im Dreieck $\triangle \mathrm{ENF}$ .

Dieses Dreieck hat bei $\mathrm N$ einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck $\triangle \mathrm{ENF}$ den Satz des Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\left[\mathrm{EF}\right]$ .

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{NF}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{MD}\right]$ .

$\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EN}}$ musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$ :

Bild

Die Strecke $\lbrack \mathrm{EN}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{EMN}$ am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm M$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{EH}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{MN}}=2{,}50\,\mathrm m$ ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke $\left[\mathrm{MN}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{GH}\right]$ ).

$\left[\mathrm{EM}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$ , und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

$\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{3{,}40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$
	$=$	$\displaystyle 9{,}14\, \mathrm m ^2$
	↓	Um von $\overline{\mathrm{EN}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EN}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.
$\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9{,}14}\, \mathrm m$
	↓	Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EN}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:
	$≈$	$\displaystyle 3{,}02\, \mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EN}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EN}}$ :

Bild

Du hast bislang erhalten:

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

und

$\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m$ .

Setze nun $\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m$ in die obere Gleichung ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$
	$=$	$\displaystyle 15{,}6425 \, \mathrm m^2$
	↓	$\overline{\mathrm{EF}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{EF}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{15{,}6425}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{15{,}6425}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$≈$	$\displaystyle 3{,}96 \, \mathrm m$

Ergebnis

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ mit einer Streckenlänge von ca. $4{,}68\,\mathrm m$ ist größer als die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ .

Damit ist die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Wie viel $\mathrm m^2$ Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Teilaufgabe 2

Bild

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

Berechne die Fläche des Rechtecks $\mathrm {DSTF}$ und
multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm {DSTF}$

$A_\mathrm {DSTF}=?$

Das Viereck $\mathrm {DSFT}$ ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

$A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite$

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ist angegeben, aber $\overline{\mathrm {DS}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$ :

Bild

Die Strecke $\lbrack \mathrm{DS}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{KSD}$ auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm K$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{DS}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\left[\mathrm{KS}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$ , und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben.

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\overline{\mathrm {DK}}$ kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken $\left[\mathrm{DM}\right]$ und $\left[\mathrm{KM}\right]$ :

$\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}$

$\overline{\mathrm{DM}}=2{,}55 \, \mathrm m$ ist angegeben.

$\overline{\mathrm{KM}}=2{,}03 \, \mathrm m$ kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke $\left[\mathrm{KM}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$ .

$\overline{\mathrm{DK}}=2{,}55\, \mathrm m - 2{,}03 \,\mathrm m = 0{,}52 \,\mathrm m$

Setze dies nun ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0{,}52\, \mathrm m\right)^2$
	↓	Das kannst du jetzt ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle 3{,}1604 \, \mathrm m^2$
	↓	$\overline{\mathrm{DS}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{DS}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3{,}1604}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{3{,}1604}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$≈$	$\displaystyle 1{,}78\;\mathrm m$

Diesen gerundeten Wert für $\overline{\mathrm{DS}}$ kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Hier setzt du nun $\overline{\mathrm{DS}}\approx1{,}78\;\mathrm m$ und $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ein.

$A=2\cdot2{,}5\,\mathrm m\cdot 1{,}78\,\mathrm m=8{,}9\,\mathrm m^2$

Der Flächeninhalt des Daches beträgt $8{,}9 \ m^2$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Berechne die unbekannte Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Berechne die fehlenden Längen! (alle Maße in mm)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.