Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden.

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ , $h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier paralleler Geraden berechnen

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Aufpunkt der Gerade $h$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

\displaystyle \Rightarrow\;\overrightarrow{n_H}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

Wähle $\overrightarrow{ P}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf: $H:\;\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)=0$ .

$\displaystyle H: \quad \qquad \qquad \qquad\quad\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle H:\qquad \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle H:\;x_1-1+\left(-2\right)\cdot\left(x_2-3\right)+x_3+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle H: \qquad \quad\;x_1-1-2x_2+6+x_3+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle H:\qquad \quad \qquad \quad \quad x_1-2x_2+x_3+6$	$=$	$\displaystyle 0$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .

$\displaystyle \left(1+\mathrm\lambda\right)+\left(-2\right)\cdot\left(1-2\mathrm\lambda\right)+\left(1+\mathrm\lambda\right)+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 1+\mathrm\lambda-2+4\mathrm\lambda+1+\mathrm\lambda+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 6+6\mathrm\lambda$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $\mathrm\lambda$ auf.
$\displaystyle \lambda$	$=$	$\displaystyle -1$

Setze $\mathrm\lambda=-1$ in die Gerade $g$ ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

$\overrightarrow S=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $S$ .

$\displaystyle d\left(P;S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(3-3\right)^2+\left(0-\left(-1\right)\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(-1\right)^2+1^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$

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