Aufgaben zum Abstand
Hier findest du Übungsaufgaben zum Abstand in der Geometrie. Lerne, den Abstand zwischen Punkten und/oder weiteren Objekten zu berechnen.
- 1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
A(5∣−2)B(3 ∣6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
d=(3−5)2+(6−(−2))2
=(−2)2+82
d=4+64=68
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(2∣−2∣1), B(4∣−4∣2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2ein.
d=(4−2)2+(−4−(−2))2+(2−1)2
d=22+(−2)2+12
d=4+4+1=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(−1∣−2∣2), B(−2∣−4∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−(−1))2+(−4−(−2))2+(4−2)2
d=(−1)2+(−2)2+22
d=1+4+4=9=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(6∣0∣1), B(1∣0∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(1−6)2+(0−0)2+(1−1)2
d=(−5)2+02+02
d=25=5
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(8∣9∣10), B(2∣6∣8)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−8)2+(6−9)2+(8−10)2
d=(−6)2+(−3)2+(−2)2
d=36+9+4=49=7
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(0∣0∣6), B(0∣0∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−0)2+(0−0)2+(6−0)2
d=02+02+62
d=36=6
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(37∣21∣5), B(13∣14∣5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(13−37)2+(14−21)2+(5−5)2
d=(−24)2+(−7)2+02
d=576+49=625=25
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(1∣2∣1), B(2∣3∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(2−1)2+(3−2)2+(−2−1)2
d=12+12+(−3)2
d=1+1+9=11
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(4∣−3∣1), B(−2∣−2∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(−2−4)2+(−2−(−3))2+(−2−1)2
d=(−6)2+(1)2+(−3)2
d=36+1+9=46
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(7∣3∣4), B(0∣−4∣−7)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(0−7)2+(−4−3)2+(−7−4)2
d=(−7)2+(−7)2+(−11)2
d=49+49+121=219
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(13∣17∣6), B(35∣20∣14)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Setze die beiden Punkte in die Formel d=(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1) ein.
d=(35−13)2+(20−17)2+(14−6)2
d=222+32+82
d=484+9+64=557
Hast du eine Frage oder Feedback?
A(3∣−2∣−1∣4), B(−1∣−6∣3∣0)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
d=(−1−3)2+(−6−(−2))2+(3−(−1))2+(0−4)2
d=(−4)2+(−4)2+42+(−4)2
d=16+16+16+16=64=8
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.
E:1−1−3∘x−0−1−1=0
g:x=31−1+λ⋅1−21
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichungen
Lösung mit Hessescher Normalenform
Erstelle von der Ebene E die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit ∣n∣1 multipliziert wird.
∣n∣=12+(−1)2+(−3)2=11
EHNF:111⋅1−1−3∘x−0−1−1=0
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft (u∘n=0) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes A von der Ebene bestimmt werden.
OA=31−1
Setze OA in EHNF ein:
d(A;E)=====111⋅1−1−3∘31−1−0−1−11111−1−3∘320111(3−2+0)111111
Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 111.
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
E:1−1−3∘x−0−1−1=0,
g:x=31−1+λ⋅1−21=a+λv
h:x=31−1+μ⋅1−1−3
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E. Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
0 = 1−1−3∘31−1+μ⋅1−1−3−0−1−1 ↓ Vereinfache.
0 = 1−1−3∘320+μ⋅1−1−3 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
0 = 3+μ+(−1)⋅(2−μ)+(−3)⋅(−3μ) ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = 3+μ−2+μ+9μ ↓ Fasse zusammen.
0 = 1+11μ −1 ↓ Löse nach μ auf.
−1 = 11μ :11 μ = −111 Setze μ=−111 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=31−1+(−111)⋅1−1−3=11321112−118
Berechne den Abstand der Punkte A und S.
d(A;S) = (1132−3)2+(1112−1)2+(−118−(−1))2 = (−111)2+(111)2+(113)2 = 1211+1211+1219 = 12111 = 111 Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 111.
Hast du eine Frage oder Feedback?
E:x=21−3+λ⋅1−21+μ⋅−212,
g:x=12−3+σ⋅−1−47
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
nE=1−21×−212=−5−4−3
⇒E:−5−4−3∘x−21−3=0
Erstelle von der Ebene E die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit ∣n∣1 multipliziert wird.
∣n∣=(−5)2+(−4)2+(−3)2=50
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft (u∘n=0) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes A von der Ebene bestimmt werden.
OA=12−3
Setze OA in EHNF ein:
d(A;E)=====501⋅−5−4−3∘12−3−21−3501−5−4−3∘−110501(5−4+0)501501
Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 501=102.
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
E:x=21−3+λ⋅1−21+μ⋅−212,
g:x=12−3+σ⋅−1−47=a+σ⋅v
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
nE=1−21×−212=−5−4−3
⇒E:−5−4−3∘x−21−3=0
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
E:−5x1−4x2−3x3+5=0
Stelle nun eine Hilfsgerade h auf, die durch den Aufpunkt a der Geraden g verläuft und die orthogonal zur Ebene E liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene E ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade h.
h:x=12−3+τ⋅−5−4−3
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E.
0 = −5⋅(1−5τ)+(−4)⋅(2−4τ)+(−3)⋅(−3−3τ)+5 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −5+25τ−8+16τ+9+9τ+5 ↓ Fasse zusammen.
0 = 1+50τ −1 ↓ Löse nach τ auf.
−1 = 50τ :50 τ = −501 Setze τ=−501 in die Hilfsgerade h ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=12−3+(−501)⋅−5−4−3=10112552−50147
Berechne den Abstand der Punkte A und S.
d(A; S) = (1011−1)2+(2552−2)2+(−50147−(−3))2 = (101)2+(252)2+(503)2 = 1001+6254+25009 = 501 = 102 Antwort: Der Abstand der Geraden g zur Ebene E beträgt 102.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.
g:x=1−32+λ⋅12−3 , h:x=1443+μ⋅2−30
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=1−32+λ⋅12−3+μ⋅2−30
H:−9−6−7∘x−1−32=0
H:−9x1−6x2−7x3+5=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt c der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=1443+σ⋅−9−6−7
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden k mit der Hilfsebene H.
0 = −9⋅(14−9σ)+(−6)⋅(4−6σ)+(−7)⋅(3−7σ)+5 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = −126+81σ−24+36σ−21+49σ+5 ↓ Fasse zusammen.
0 = −166+166σ +166 ↓ Löse nach σ auf.
166 = 166σ :166 1 = σ Setze σ=1 in die Hilfsgerade k ein, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.
S=1443+1⋅−9−6−7=5−2−4
Berechne den Abstand der Punkte a und S.
d(a;S) = (5−14)2+(−2−4)2+(−4−3)2 = (−9)2+(−6)2+(−7)2 = 81+36+49 = 166 Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also 166.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=110+λ⋅14−3, h:x=000+μ⋅10−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden
Stelle eine Hilfsebene H in Parameterform auf, die die
Gerade g enthält und die parallel zur Geraden h verläuft.
D.h. der Aufpunkt a der Geraden g ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden g ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden h ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.
H:x=100+λ⋅14−3+μ⋅10−2
H:−8−1−4∘x−110=0
H:−8x1−x2−4x3+9=0
Stelle eine Hilfsgerade k auf, die durch den Aufpunkt a(Koordinatenursprung!) der Geraden h verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene H liegt.
D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.
k:x=000+σ⋅−8−1−4
Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsgeraden g mit der Hilfsebene H.
0 = −8⋅(−8σ)+(−1)⋅(−σ)+(−4)⋅(−4σ)+9 ↓ Multipliziere die Klammern aus.
0 = 64σ+σ+16σ+9 ↓ Fasse zusammen.
0 = 9+81σ −9 ↓ Löse nach σ auf.
−9 = 81σ