Aufgaben zum Abstand

Hier findest du Übungsaufgaben zum Abstand in der Geometrie. Lerne, den Abstand zwischen Punkten und/oder weiteren Objekten zu berechnen.

1
Berechne den Abstand der folgenden Punkte.
1. $A\left(5\;|\;-2\;\right) B\left(3\ |\;6\;\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  Für den Abstand zweier Punkte in der Ebene setzt man die Punkte in die folgende Formel ein:
  $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
  $\mathrm{d}=\sqrt{\left(3-5\right)^2+\left(6-\left(-2\right)\right)^2}$
  $\mathrm =\sqrt{\left(-2\right)^2+8^2}$
  $\mathrm d=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$
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2. $A\left(2\;\left|\;-2\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $B\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;2\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2- z_1)^2}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-4-\left(-2\right)\right)^2+\left(2-1\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+1^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt9=3$
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3. $A\left(-1\;\left|\;-2\;\left|\;2\right.\right.\right)$ , $B\left(-2\;\left|-\;4\;\left|\;4\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $\mathrm d=\sqrt{\left(-2-\left(-1\right)\right)^2+\left(-4-\left(-2\right)\right)^2+\left(4-2\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2+2^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt9=3$
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4. $A\left(6\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $B\left(1\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(1-6\right)^2+\left(0-0\right)^2+\left(1-1\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-5\right)^2+0^2+0^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{25}=5$
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5. $A\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right)$ , $B\left(2\;\left|\;6\;\left|\;8\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(2-8\right)^2+\left(6-9\right)^2+\left(8-10\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-3\right)^2+\left(-2\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7$
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6. $A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right)$ , $B\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(0-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{0^2+0^2+6^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{36}=6$
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7. $A\left(37\;\left|\;21\;\left|\;5\right.\right.\right)$ , $B\left(13\;\left|\;14\;\left|\;5\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(13-37\right)^2+\left(14-21\right)^2+\left(5-5\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-24\right)^2+\left(-7\right)^2+0^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$
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8. $A\left(1\;\left|\;2\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $B\left(2\;\left|\;3\;\left|\;-2\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(3-2\right)^2+\left(-2-1\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{1^2+1^2+\left(-3\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$
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9. $A\left(4\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $B\left(-2\;\left|\;-2\;\left|\;-2\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(-2-4\right)^2+\left(-2-\left(-3\right)\right)^2+\left(-2-1\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(1\right)^2+\left(-3\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{36+1+9}=\sqrt{46}$
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10. $A\left(7\;\left|\;3\;\left|\;4\right.\right.\right)$ , $B\left(0\;\left|\;-4\;\left|\;-7\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(0-7\right)^2+\left(-4-3\right)^2+\left(-7-4\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-7\right)^2+\left(-11\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{49+49+121}=\sqrt{219}$
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11. $A\left(13\;\left|\;17\;\left|\;6\right.\right.\right)$ , $B\left(35\;\left|\;20\;\left|\;14\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Setze die beiden Punkte in die Formel $d=\sqrt{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2- z_1)}$ ein.
  $d=\sqrt{\left(35-13\right)^2+\left(20-17\right)^2+\left(14-6\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{22^2+3^2+8^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{484+9+64}=\sqrt{557}$
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12. $A\left(3\;\left|\;-2\;\left|\;-1\right.\;\right.\left|\;4\right.\right)$ , $B\left(-1\;\left|\;-6\;\left|\;3\;\left|\;0\right.\right.\right.\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
  In dieser Aufgabe soll der Abstand zweier Punkte berechnet werden.
  Für den Abstand zweier Punkte in höheren Dimensionen geht man analog vor.
  $\mathrm d=\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(-6-\left(-2\right)\right)^2+\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(0-4\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-4\right)^2+4^2+\left(-4\right)^2}$
  $\phantom{d}=\sqrt{16+16+16+16}=\sqrt{64}=8$
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Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichungen

Lösung mit Hessescher Normalenform

Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\dfrac{1}{|\vec n|}$ multipliziert wird.

$|\vec n|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{11}$

$E_{HNF}:\;\dfrac{1}{\sqrt{11}}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft ( $\vec u \circ \vec n=0$ ) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes $A$ von der Ebene bestimmt werden.

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$

Setze $\overrightarrow{OA}$ in $E_{HNF}$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(A;E)= &\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\left(3-2+0\right)\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right|\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{11}} \end{aligned}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac1{\sqrt{11}}$ .

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$ ,

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{v}$

Stelle eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\right]$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3+\mathrm\mu+\left(-1\right)\cdot\left(2-\mathrm\mu\right)+\left(-3\right)\cdot\left(-3\mathrm\mu\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3+\mathrm\mu-2+\mathrm\mu+9\mathrm\mu$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+11\mu$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $\mathrm\mu$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 11\mu$	$\displaystyle :11$
$\displaystyle \mu$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{11}$

Setze $\mathrm\mu=-\frac1{11}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\left(-\frac1{11}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{32}{11}\\[1ex]\frac{12}{11}\\[1ex]-\frac8{11}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .

$\displaystyle d\left(A; S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{32}{11}-3\right)^2+\left(\frac{12}{11}-1\right)^2+\left(-\frac8{11}-\left(-1\right)\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(-\frac1{11}\right)^2+\left(\frac1{11}\right)^2+\left(\frac3{11}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac1{121}+\frac1{121}+\frac9{121}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{11}{121}}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{\sqrt{11}}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac1{\sqrt{11}}$ .

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$E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ ,

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung

Lösung mit Hessescher Normalenform

Wandle die Ebene in Normalenform um:

Berechne den Normalenvektor:

$\overrightarrow{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;E:\;\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]=0$

Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\dfrac{1}{|\vec n|}$ multipliziert wird.

$|\vec n|=\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{50}$

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Setze $\overrightarrow{OA}$ in $E_{HNF}$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(A;E)= &\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\cdot \begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\left(5-4+0\right)\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right|\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{50}} \end{aligned}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac{1}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt2}{10}$ .

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

$E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ ,

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}=\overrightarrow{a}+\sigma \cdot \overrightarrow{v}$

Wandle die Ebene in Koordinatenform um:

Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.

$\overrightarrow{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;E:\;\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Ebene in Koordinatenform um.

$E:\;-5x_1-4x_2-3x_3+5=0$

Stelle nun eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\tau\cdot\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -5 \cdot (1-5\tau)+(-4) \cdot (2-4\tau)+(-3 ) \cdot (-3-3\tau)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -5+25\mathrm\tau-8+16\mathrm\tau+9+9\mathrm\tau+5$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+50\mathrm\tau$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $\mathrm\tau$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 50\mathrm\tau$	$\displaystyle :50$
$\displaystyle \mathrm\tau$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{50}$

Setze $\mathrm\tau=-\frac1{50}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\left(-\frac1{50}\right)\cdot\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{10}\\[1ex]\frac{52}{25}\\[1ex]-\frac{147}{50}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .

$\displaystyle d\left(A;\ S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{11}{10}-1\right)^2+\left(\frac{52}{25}-2\right)^2+\left(-\frac{147}{50}-\left(-3\right)\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac1{10}\right)^2+\left(\frac2{25}\right)^2+\left(\frac3{50}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac1{100}+\frac4{625}+\frac9{2500}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac1{50}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt2}{10}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac{\sqrt2}{10}$ .

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Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ , $h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die

Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.

D.h. der Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ der Geraden $\ g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.

$H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um.

$H:\;\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\right]=0$

$H:\;-9x_1-6x_2-7x_3+5=0$

Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{c}$ der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

$k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $k$ mit der Hilfsebene $H$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -9\cdot\left(14-9\mathrm{\sigma}\right)+\left(-6\right)\cdot\left(4-6\mathrm{\sigma}\right)+\left(-7\right)\cdot\left(3-7\mathrm{\sigma}\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -126+81\mathrm{\sigma}-24+36\mathrm{\sigma}-21+49\mathrm{\sigma}+5$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -166+166\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle +166$
	↓	Löse nach $\mathrm{\sigma}$ auf.
$\displaystyle 166$	$=$	$\displaystyle 166\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle :166$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \sigma$

Setze $\mathrm\sigma=1$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{S}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-2\\-4\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{a}$ und $S$ .

$\displaystyle \mathrm{d}\left(\overrightarrow{a};S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(5-14\right)^2+\left(-2-4\right)^2+\left(-4-3\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(-9\right)^2+\left(-6\right)^2+\left(-7\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{81+36+49}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{166}$

Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also $\sqrt{166}$ .

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$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}$ , $h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die

Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.

D.h. der Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.

$H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um .

$H:\;\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$

$H:\;-8x_1-x_2-4x_3+9=0$

Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ (Koordinatenursprung!) der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

$k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -8\cdot\left(-8\mathrm{\sigma}\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-\mathrm{\sigma}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(-4\mathrm{\sigma}\right)+9$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 64\mathrm{\sigma}+\mathrm{\sigma}+16\mathrm{\sigma}+9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 9+81\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle -9$
	↓	Löse nach $\mathrm{\sigma}$ auf.
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle 81\mathrm{\sigma}$