$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt3$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $\ E$  in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt3}\cdot\left(x_1+x_2-x_3-1\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}4\\5\\-3\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$=\sqrt{16+25+9}=\sqrt{50}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$  in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{50}}\cdot\left(4x_1+5x_2-3x_3-8\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt2$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$  in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt  $\overrightarrow{ a}$  der Ebene  $E$  gilt   $\overrightarrow n\circ\overrightarrow a=-2$

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt2}\cdot\left(x_2-x_3+2\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt2$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$  in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt  $\overrightarrow{ a}$  der Ebene  $E$  gilt   $\overrightarrow n\circ\overrightarrow a=-2$

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt2}\cdot\left(x_1-x_3+2\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}18\\-13\\7\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$=\sqrt{364+169+49}=\sqrt{542}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$  in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{542}}\cdot\left(18x_1-13x_2+7x_3-22\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow n=\begin{pmatrix}2\\8\\-5\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$=\sqrt{4+64+25}=\sqrt{93}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt  $\overrightarrow{\mathrm a}$  der Ebene  $\mathrm E$  gilt   $\overrightarrow{ n}\circ\overrightarrow{ a}=-2$

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt{93}}\cdot\left(2x_1+8x_2-5x_3+10\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}12\\2\\5\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$=\sqrt{144+4+25}=\sqrt{173}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$  in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{173}}\cdot\left(12x_1+2x_2+5x_3-31\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}100\\-13\\43\end{pmatrix}$

Berechne den  Betrag des Normalenvektors.

$=\sqrt{10000+169+1849}=\sqrt{12018}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene  $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{12018}}\cdot\left(100x_1-13x_2+43x_3-126\right)=0$

Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ($\overrightarrow0$) in die Hessenormalform der Ebene  $E$  ein, um den Abstand zu bestimmen.