Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand des Koordiantenursprungs von der Ebene.

$E:\;x_1+x_2-x_3-1=0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt3$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $\ E$ in Hessenormalform auf.
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt3}\cdot\left(x_1+x_2-x_3-1\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|\frac1{\sqrt3}\cdot\left(-1\right)\right|=\frac1{\sqrt3}\approx0{,}577$
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$E:\;4x_1+5x_2-3x_3-8=0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}4\\5\\-3\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\5\\-3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+\left(5\right)^2+\left(-3\right)^2}$
$=\sqrt{16+25+9}=\sqrt{50}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{50}}\cdot\left(4x_1+5x_2-3x_3-8\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|\frac1{\sqrt{50}}\cdot\left(-8\right)\right|=\frac8{\sqrt{50}}\approx1{,}131$
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$E:\;x_2-x_3+2=0$

Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt2$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Ebene $E$ gilt $\overrightarrow n\circ\overrightarrow a=-2$
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt2}\cdot\left(x_2-x_3+2\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|-\frac1{\sqrt2}\cdot2\right|=\frac2{\sqrt2}\approx1{,}414$
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$E:\;x_1-x_3+2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und $x_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt2$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Ebene $E$ gilt $\overrightarrow n\circ\overrightarrow a=-2$
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt2}\cdot\left(x_1-x_3+2\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|-\frac1{\sqrt2}\cdot2\right|=\frac2{\sqrt2}\approx1{,}414$
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$E:\;18x_1-13x_2+7x_3-22=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}18\\-13\\7\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}18\\-13\\7\end{pmatrix}\right|=\sqrt{18^2+\left(-13\right)^2+7^2}$
$=\sqrt{364+169+49}=\sqrt{542}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{542}}\cdot\left(18x_1-13x_2+7x_3-22\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|\frac1{\sqrt{542}}\cdot\left(-22\right)\right|=\frac{22}{\sqrt{542}}\approx0{,}945$
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$E:\;2x_1+8x_2-5x_3+10=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow n=\begin{pmatrix}2\\8\\-5\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}2\\8\\-5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+8^2+\left(-5\right)^2}$
$=\sqrt{4+64+25}=\sqrt{93}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\overrightarrow{\mathrm a}$ der Ebene $\mathrm E$ gilt $\overrightarrow{ n}\circ\overrightarrow{ a}=-2$
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt{93}}\cdot\left(2x_1+8x_2-5x_3+10\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|-\frac1{\sqrt{93}}\cdot10\right|=\frac{10}{\sqrt{93}}\approx1{,}037$
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$E:\;12x_1+2x_2+5x_3-31=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}12\\2\\5\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}12\\2\\5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{12^2+2^2+5^2}$
$=\sqrt{144+4+25}=\sqrt{173}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{173}}\cdot\left(12x_1+2x_2+5x_3-31\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|\frac1{\sqrt{173}}\cdot\left(-31\right)\right|=\frac{31}{\sqrt{173}}\approx2{,}357$
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$E:\;100x_1-13x_2+43x_3-126=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene
Bestimme die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}100\\-13\\43\end{pmatrix}$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}100\\-13\\43\end{pmatrix}\right|=\sqrt{100^2+\left(-13\right)^2+43^2}$
$=\sqrt{10000+169+1849}=\sqrt{12018}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{12018}}\cdot\left(100x_1-13x_2+43x_3-126\right)=0$
Setze den Ortsvektor des Koordinatenursprungs ( $\overrightarrow0$ ) in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|\frac1{\sqrt{12018}}\cdot\left(-126\right)\right|=\frac{126}{\sqrt{12018}}\approx1{,}149$
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