Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

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Gegeben sind die beiden parallelen Geraden

$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $h : \vec{O X} = s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$

Berechne ihren Abstand.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand Punkt Gerade

Einen Punkt auf der Geraden $h$ erhältst du z.B. für $s = 1$ . Du berechnest dann den Abstand dieses Punktes von der Geraden $g$ .

$\vec{O X} = 1 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$

1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H : \vec{n} \circ (\vec{O X} - \vec{O A}) = 0$ .

Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\vec{O A}$ setzt du den oben berechneten Ortsvektor $(\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$ ein.

$H : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ [\vec{O X} - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})] = 0$

2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ :

$g \cap H : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})] = 0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 11 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})] = 0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$1 \cdot (4 + r) + 1 \cdot (7 + r) + 3 \cdot (11 + 3 r) = 0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:

$4 + r + 7 + r + 33 + 9 r = 0 \Rightarrow 11 \cdot r = - 44$ mit der Lösung $r = - 4$ .

Lotfußpunkt $F$ : Setze $r = - 4$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 5 \end{array}) + (- 4) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 7 \end{array})$ .

Der Lotfußpunkt $F$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten: $F (- 2 | 1 | - 7)$ .

3. Berechne den Lotvektor: $\vec{P F} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ .

Berechne den gesuchten Abstand $d (P, F)$ als Länge des Lotvektors $| \vec{P F} |$ :

$d (P, F) = | \vec{P F} | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{10} \approx 3,16 LE$ .

Der Fall paralleler Geraden lässt sich auf die Abstandberechnung eines Punktes von einer Geraden zurückführen. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ .

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