Einen Punkt auf der Geraden $h$ erhältst du z.B. für $s=1$. Du berechnest dann den Abstand dieses Punktes von der Geraden $g$.

$\overrightarrow{OX}=1 \cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}$

1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H:\; \vec n \circ\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)=0$.

Dabei ist $\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\overrightarrow{OA}$ setzt du den oben berechneten Ortsvektor $\begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}$ein.

$H:\;\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}\right]=0$

2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$:

$\;\; g \cap H:\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\5\\5\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}\right]=0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}4\\7\\11\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$1\cdot (4+r)+1\cdot(7+r)+3\cdot(11+3r)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$4+r+7+r+33+9r=0\Rightarrow \;11\cdot r =-44$ mit der Lösung $r=-4$.

Lotfußpunkt $F$: Setze $r=-4$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\overrightarrow {OX_F}=\begin{pmatrix}2\\5\\5\end{pmatrix}+(-4) \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-7\end{pmatrix}$.

Der Lotfußpunkt $F$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten: $F\left(-2|1|-7\right)$ .

3. Berechne den Lotvektor: $\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}$.

Berechne den gesuchten Abstand $d(P,F)$ als Länge des Lotvektors $|\overrightarrow{PF}|$:

$d(P,F)=\vert \overrightarrow{PF} \vert=\sqrt{0^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{0+9+1}=\sqrt{10}\approx 3{,}16$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{10}\approx 3{,}16\;\text{LE}$.