1. Der Punkt $F$ liegt auf der Geraden $g$ ($F∈g$) , d.h. für den Punkt $F$ gilt: $F\left(2|r|1\right)$

2. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}= \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\r\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\r-1\\-1\end{pmatrix}$

3. Der Vektor $\overrightarrow{PF}$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$; d.h. das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren hat den Wert Null :

$\Rightarrow \overrightarrow{PF}\circ \vec u=0$.

$\begin{pmatrix}2\\r-1\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=0 \Rightarrow r-1=0$, mit der Lösung $r=1$

4. Setze $r=1$ in den Vektor $\overrightarrow{PF}$ ein $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PF}= \begin{pmatrix}2\\1-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$

5. Der gesuchte Abstand $d(P,F)$ ist die Länge des Vektors $\overrightarrow{PF}$, d.h. der Betrag des Vektors.

$d(P,F)=\vert \overrightarrow{PF} \vert=\sqrt{(2)^2+(0)^2+(-1)^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}\approx 2{,}24$

6. Setzt du $r=1$ in $F\left(2|r|1\right)$ ein, erhältst du die Koordinaten des Lotfußpunktes: $F\left(2|1|1\right)$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{5}\approx 2{,}24\;\text{LE}$. Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F\left(2|1|1\right)$.