Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$  auf, die durch den

Punkt  $P$  verläuft und die orthogonal zur Ebene  $E$  liegt.

Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  $h$  ist der Normalenvektor der Ebene  $E$.

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt  der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne das  Skalarprodukt.

$3+\mathrm\lambda-1+\left(-2\right)\cdot\left(-1-2\mathrm\lambda-2\right)+3\cdot\left(2+3\mathrm\lambda\right)=0$

$3+\mathrm\lambda-1+2+4\mathrm\lambda+4+6+9\mathrm\lambda=0$

$14\mathrm\lambda+14=0$

Löse nach  $\mathrm\lambda$  auf.

$\mathrm\lambda=-1$

Setze  $\mathrm\lambda=-1$  in die Hilfsgerade  $h$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $P$  und  $\mathrm L$.

$d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(2-3\right)^2+\left(1-\left(-1\right)\right)^2+\left(-1-2\right)^2}$

$=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+\left(-3\right)^2}$

$=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den

Punkt  $P$  verläuft und die orthogonal zur Ebene  $\mathrm E$  liegt.

Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene  $E$, orthogonalen Vektor zu erhalten.

$\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}$

Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}$

Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.

$E:\;\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0$

Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\sigma\cdot\begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0$

$2\cdot\left(1+2\mathrm\sigma-1\right)+\left(-5\right)\cdot\left(-3-5\mathrm\sigma-1\right)+1+\mathrm\sigma-1=0$

$2+4\mathrm\sigma-2+15+25\mathrm\sigma+5+1+\mathrm\sigma-1=0$

$30\mathrm\sigma+20=0$

$\mathrm\sigma=-\frac23$

Setze  $\mathrm\sigma=-\frac23$  in die Hilfserade  $h$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$ zu bestimmen.

$\overrightarrow L=\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \begin{pmatrix}2\\-5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte   $P$  und  $L$.

$d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(-\frac13-1\right)^2+\left(\frac13-\left(-3\right)\right)^2+\left(\frac13-1\right)^2}$

$=\sqrt{\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac{10}3\right)^2+\left(-\frac23\right)^2}$

$=\sqrt{\frac{16}9+\frac{100}9+\frac49}$

$=\sqrt{\frac{120}9}=2\sqrt{\frac{10}3}=\frac{20}{\sqrt{30}}$

Stelle zunächst eine Hilfsgerade  $h$  auf, die durch den Punkt  $P$  verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  $h$  ist der Normalenvektor der Ebene  $E$.

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt  der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.

$\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}\right]+27=0$

Berechne das  Skalarprodukt.

$-3\cdot\left(2-3\mathrm\lambda\right)+2\cdot\left(-4+2\mathrm\lambda\right)+\left(-6\right)\cdot\left(1-6\mathrm\lambda\right)+27=0$

$-6+9\mathrm\lambda-8+4\mathrm\lambda-6+36\mathrm\lambda+27=0$

$49\mathrm\lambda+7=0$

$\mathrm\lambda=-\frac17$

Setze  $\lambda=-\frac17$  in die Hilfserade $h$ ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}+\left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \begin{pmatrix}-3\\2\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{17}{7}\\-\frac{30}{7}\\ \frac{13}{7}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte   $P$  und  $L$ .

$d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(\frac{17}7-2\right)^2+\left(-\frac{30}7-\left(-4\right)\right)^2+\left(\frac{13}7-1\right)^2}$

$=\sqrt{\left(\frac37\right)^2+\left(-\frac27\right)^2+\left(\frac67\right)^2}$

$=\sqrt{\frac9{49}+\frac4{49}+\frac{36}{49}}=1$