Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$  auf, die durch den

Punkt  $P$  verläuft und die orthogonal zur Ebene  $E$  liegt.

Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  $h$  ist der Normalenvektor der Ebene  $E$.

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Bestimme den Schnittpunkt  der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)]=0$

Berechne das  Skalarprodukt.

$3+\mathrm{\lambda }-1+(-2)\cdot (-1-2\mathrm{\lambda }-2)+3\cdot (2+3\mathrm{\lambda })=0$

$3+\mathrm{\lambda }-1+2+4\mathrm{\lambda }+4+6+9\mathrm{\lambda }=0$

$14\mathrm{\lambda }+14=0$

Löse nach  $\mathrm{\lambda }$  auf.

$\mathrm{\lambda }=-1$

Setze  $\mathrm{\lambda }=-1$  in die Hilfsgerade  $h$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)+(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte $P$  und  $\mathrm{L}$.

$d(P;L)=\sqrt{{(2-3)}^2+{(1-(-1))}^2+{(-1-2)}^2}$

$=\sqrt{{(-1)}^2+2^2+{(-3)}^2}$

$=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

Stelle zunächst eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den

Punkt  $P$  verläuft und die orthogonal zur Ebene  $\mathrm{E}$  liegt.

Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um einen, zur Ebene  $E$, orthogonalen Vektor zu erhalten.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Stelle nun die Gleichung der Hilfsgeraden auf.

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right)+\sigma \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Um den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene zu bestimmen, wandle die Ebene von Parameterform in Normalenform um.

$E:\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)]=0$

Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\sigma }\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)]=0$

$2\cdot (1+2\mathrm{\sigma }-1)+(-5)\cdot (-3-5\mathrm{\sigma }-1)+1+\mathrm{\sigma }-1=0$

$2+4\mathrm{\sigma }-2+15+25\mathrm{\sigma }+5+1+\mathrm{\sigma }-1=0$

$30\mathrm{\sigma }+20=0$

$\mathrm{\sigma }=-\frac{2}{3}$

Setze  $\mathrm{\sigma }=-\frac{2}{3}$  in die Hilfserade  $h$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right)+(-\frac{2}{3})\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte   $P$  und  $L$.

$d(P;L)=\sqrt{{(-\frac{1}{3}-1)}^2+{(\frac{1}{3}-(-3))}^2+{(\frac{1}{3}-1)}^2}$

$=\sqrt{{(-\frac{4}{3})}^2+{\left(\frac{10}{3}\right)}^2+{(-\frac{2}{3})}^2}$

$=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{100}{9}+\frac{4}{9}}$

$=\sqrt{\frac{120}{9}}=2\sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{20}{\sqrt{30}}$

Stelle zunächst eine Hilfsgerade  $h$  auf, die durch den Punkt  $P$  verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

Der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  $h$  ist der Normalenvektor der Ebene  $E$.

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$

Bestimme den Schnittpunkt  der Hilfsgeraden mit der Ebene. Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in (leicht veränderter) Normalenform ein.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)]+27=0$

Berechne das  Skalarprodukt.

$-3\cdot (2-3\mathrm{\lambda })+2\cdot (-4+2\mathrm{\lambda })+(-6)\cdot (1-6\mathrm{\lambda })+27=0$

$-6+9\mathrm{\lambda }-8+4\mathrm{\lambda }-6+36\mathrm{\lambda }+27=0$

$49\mathrm{\lambda }+7=0$

$\mathrm{\lambda }=-\frac{1}{7}$

Setze  $\lambda =-\frac{1}{7}$  in die Hilfserade $h$ ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 1\end{array}\right)+(-\frac{1}{7})\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{17}{7}\\ -\frac{30}{7}\\ \frac{13}{7}\end{array}\right)$

Berechne den Abstand der Punkte   $P$  und  $L$ .

$d(P;L)=\sqrt{{(\frac{17}{7}-2)}^2+{(-\frac{30}{7}-(-4))}^2+{(\frac{13}{7}-1)}^2}$

$=\sqrt{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2+{(-\frac{2}{7})}^2+{\left(\frac{6}{7}\right)}^2}$

$=\sqrt{\frac{9}{49}+\frac{4}{49}+\frac{36}{49}}=1$