Berechne zunächst den Normalenvektor
n ⃗ = u ⃗ × v ⃗ = ( − 4 1 1 ) × ( 2 1 − 2 ) = ( − 3 − 6 − 6 ) \vec n=\vec{u}\times \vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-6\\-6\end{pmatrix} n = u × v = − 4 1 1 × 2 1 − 2 = − 3 − 6 − 6
Der mit Faktor ( − 3 ) (-3) ( − 3 ) n ⃗ = ( 1 2 2 ) \vec n=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} n = 1 2 2
Sein Betrag ist: ∣ n ⃗ ∣ = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3 \vert \vec n \vert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 ∣ n ∣ = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3
Berechne den Normaleneinheitsvektor n 0 → = n ⃗ ∣ n ⃗ ∣ = 1 3 ⋅ ( 1 2 2 ) = ( 1 3 2 3 2 3 ) \overrightarrow {n_0}=\dfrac{\vec n}{\vert \vec n \vert}=\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix} n 0 = ∣ n ∣ n = 3 1 ⋅ 1 2 2 = 3 1 3 2 3 2
Erstelle die Vektorgleichung ( I ) O P → + d ⋅ n 0 → = O Q → \mathrm{(I)}\ \overrightarrow{OP}+d\cdot\overrightarrow {n_0}=\overrightarrow{OQ} ( I ) OP + d ⋅ n 0 = OQ
( 5 0 1 ) + r ⋅ ( − 4 1 1 ) + d ⋅ ( 1 3 2 3 2 3 ) = ( 5 3 7 ) + s ⋅ ( 2 1 − 2 ) \begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} 5 0 1 + r ⋅ − 4 1 1 + d ⋅ 3 1 3 2 3 2 = 5 3 7 + s ⋅ 2 1 − 2
Sortiere die Vektorgleichung um:
( 0 − 3 − 6 ) = + r ⋅ ( 4 − 1 − 1 ) + d ⋅ ( − 1 3 − 2 3 − 2 3 ) + s ⋅ ( 2 1 − 2 ) \begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}=+r \cdot \begin{pmatrix}4\\-1\\-1\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} 0 − 3 − 6 = + r ⋅ 4 − 1 − 1 + d ⋅ − 3 1 − 3 2 − 3 2 + s ⋅ 2 1 − 2
Du erhältst 3 Gleichungen:
( I ) : 0 = 4 r − 1 3 d + 2 s ( I I ) : − 3 = − r − 2 3 d + s ( I I I ) : − 6 = − r − 2 3 d − 2 s \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}
\;\mathrm{(I)}:\;\;\;0 & = & 4r &-&\frac{1}{3}d& +&2s&\\\mathrm{(II)}:\; -3 & =& -r&-&\frac{2}{3}d& +&s\\\mathrm{(III)}:\;-6 & = & -r &-&\frac{2}{3}d& -&2s&\end{array} ( I ) : 0 ( II ) : − 3 ( III ) : − 6 = = = 4 r − r − r − − − 3 1 d 3 2 d 3 2 d + + − 2 s s 2 s
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren , um mindestens eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: ( I I ) − ( I I I ) \mathrm{(II)} -\mathrm{(III)} ( II ) − ( III )
( I ) : 0 = 4 r − 1 3 d + 2 s ( I I ) : − 3 = − r − 2 3 d + s ( I I I ) : − 6 = − r − 2 3 d − 2 s \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}
\;\mathrm{(I)}:\;\;\;0 & = & 4r &-&\frac{1}{3}d& +&2s&\\\mathrm{(II)}:\; -3 & =& -r&-&\frac{2}{3}d& +&s\\\mathrm{(III)}:\;-6 & = & -r &-&\frac{2}{3}d& -&2s&\end{array} ( I ) : 0 ( II ) : − 3 ( III ) : − 6 = = = 4 r − r − r − − − 3 1 d 3 2 d 3 2 d + + − 2 s s 2 s
3 = 0 r + 0 d + 3 s ‾ ⇒ s = 1 \overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3\;\;\;=\;\;\;\;0r\;\;\;+\;\;0d\;\;\;\;+\;\;3s}\;\;\;\Rightarrow s=1 3 = 0 r + 0 d + 3 s ⇒ s = 1
Setze s = 1 s=1 s = 1 ( I ) \mathrm{(I)} ( I ) ( I I ) \mathrm{(II)} ( II )
( I ′ ) : 0 = 4 r − 1 3 d + 2 ( I I ′ ) : − 3 = − r − 2 3 d + 1 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}
\;\mathrm{(I')}:\;\;\;0 & = & 4r &-&\frac{1}{3}d& +&2&\\\mathrm{(II')}:\; -3 & =& -r&-&\frac{2}{3}d& +&1\end{array}
( I ′ ) : 0 ( I I ′ ) : − 3 = = 4 r − r − − 3 1 d 3 2 d + + 2 1
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren , um eine der Variablen zu eliminieren.
Rechne zum Beispiel: 4 ⋅ ( I I ′ ) + ( I ′ ) 4\cdot\mathrm{(II')} +\mathrm{(I')} 4 ⋅ ( I I ′ ) + ( I ′ )
( I ′ ) : 0 = 4 r − 1 3 d + 2 4 ⋅ ( I I ′ ) : − 12 = − 4 r − 8 3 d + 4 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}
\;\;\;\mathrm{(I')}:\;\;\;\;0 & = & 4r &-&\frac{1}{3}d& +&2&\\4\cdot\mathrm{(II')}:\; -12 & =& -4r&-&\frac{8}{3}d& +&4\end{array} ( I ′ ) : 0 4 ⋅ ( I I ′ ) : − 12 = = 4 r − 4 r − − 3 1 d 3 8 d + + 2 4
− 12 = 0 r − 9 3 d + 6 ‾ ⇒ − 18 = − 3 d ⇒ d = 6 \overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12\;\;\;=\;\;\;\;\;0r\;\;\;-\;\;\;\frac{9}{3}d\;\;\;+\;\;\;6}\;\;\;\;\Rightarrow -18=-3d\;\Rightarrow d=6
− 12 = 0 r − 3 9 d + 6 ⇒ − 18 = − 3 d ⇒ d = 6
d = 6 d=6 d = 6
d d d ( I I ′ ) ⇒ − 3 = − r − 12 3 + 1 ⇒ − 4 = − r − 4 ⇒ r = 0 \mathrm{(II')} \Rightarrow -3=-r-\dfrac{12}{3}+1 \;\;\Rightarrow -4=-r-4\;\;\Rightarrow r=0 ( I I ′ ) ⇒ − 3 = − r − 3 12 + 1 ⇒ − 4 = − r − 4 ⇒ r = 0
Setze r = 0 r=0 r = 0 g g g P P P O X P → = ( 5 0 1 ) + 0 ⋅ ( − 4 1 1 ) = ( 5 0 1 ) \overrightarrow{OX_P}=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix} O X P = 5 0 1 + 0 ⋅ − 4 1 1 = 5 0 1
Setze s = 1 s=1 s = 1 h h h Q Q Q O X Q → = ( 5 3 7 ) + 1 ⋅ ( 2 1 − 2 ) = ( 7 4 5 ) \overrightarrow{OX_Q}=\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\4\\5\end{pmatrix} O X Q = 5 3 7 + 1 ⋅ 2 1 − 2 = 7 4 5
Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand d = 6 LE d=6\;\text{LE} d = 6 LE
Die beiden Fußpunkte haben die Koordinaten P ( 5 ∣ 0 ∣ 1 ) P\left(5\vert0\vert1\right) P ( 5∣0∣1 ) Q ( 7 ∣ 4 ∣ 5 ) Q\left(7\vert4\vert5\right) Q ( 7∣4∣5 )
