Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ , $h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die

Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.

D.h. der Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.

$H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um.

$H:\;\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\right]=0$

$H:\;-9x_1-6x_2-7x_3+5=0$

Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{c}$ der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

$k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $k$ mit der Hilfsebene $H$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -9\cdot\left(14-9\mathrm{\sigma}\right)+\left(-6\right)\cdot\left(4-6\mathrm{\sigma}\right)+\left(-7\right)\cdot\left(3-7\mathrm{\sigma}\right)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -126+81\mathrm{\sigma}-24+36\mathrm{\sigma}-21+49\mathrm{\sigma}+5$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -166+166\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle +166$
	↓	Löse nach $\mathrm{\sigma}$ auf.
$\displaystyle 166$	$=$	$\displaystyle 166\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle :166$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \sigma$

Setze $\mathrm\sigma=1$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{S}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-9\\-6\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-2\\-4\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{a}$ und $S$ .

$\displaystyle \mathrm{d}\left(\overrightarrow{a};S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(5-14\right)^2+\left(-2-4\right)^2+\left(-4-3\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(-9\right)^2+\left(-6\right)^2+\left(-7\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{81+36+49}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{166}$

Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt also $\sqrt{166}$ .

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$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}$ , $h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die

Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.

D.h. der Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Geraden $g$ ist der Aufpunkt der Hilfsebene, der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der erste Richtungsvektor der Hilfsebene und der Richtungsvektor der Geraden $h$ ist der zweite Richtungsvektor der Ebene.

$H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um .

$H:\;\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right]=0$

$H:\;-8x_1-x_2-4x_3+9=0$

Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ (Koordinatenursprung!) der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

$k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -8\cdot\left(-8\mathrm{\sigma}\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-\mathrm{\sigma}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(-4\mathrm{\sigma}\right)+9$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 64\mathrm{\sigma}+\mathrm{\sigma}+16\mathrm{\sigma}+9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 9+81\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle -9$
	↓	Löse nach $\mathrm{\sigma}$ auf.
$\displaystyle -9$	$=$	$\displaystyle 81\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle :81$
$\displaystyle -\frac{1}{9}$	$=$	$\displaystyle \sigma$

Setze $\mathrm\sigma=-\frac19$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ S}=-\frac19\cdot\begin{pmatrix}-8\\-1\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac89\\\frac19\\\frac49\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{ a}$ und $S$ .

$\displaystyle d\left(\overrightarrow{a};S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{8}{9}\right)^2+\left(\frac{1}{9}\right)^2+\left(\frac{4}{9}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{64}{81}+\frac{1}{81}+\frac{16}{81}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{81}{81}}$
	$=$	$\displaystyle 1$

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$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}$ , $h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier windschiefer Geraden

Stelle eine Hilfsebene $H$ in Parameterform auf, die die

Gerade $g$ enthält und die parallel zur Geraden $h$ verläuft.

$H:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um.

$H:\;\begin{pmatrix}-3\\-5\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}\right]=0$

$H:\;-3x_1-5x_2-4x_3+39=0$

Stelle eine Hilfsgerade $k$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ der Geraden $h$ verläuft und die orthogonal zur Hilfsebene $H$ liegt.

D.h. der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Hilfsebene.

$k:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-3\\-5\\-4\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -3\cdot\left(5-3\mathrm{\sigma}\right)-5\cdot\left(4-5\mathrm{\sigma}\right)+\left(-4\right)\cdot\left(13-4\mathrm{\sigma}\right)+39$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -15+9\mathrm{\sigma}-20+25\mathrm{\sigma}-52+16\mathrm{\sigma}+39$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -48+50\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle +48$
	↓	Löse nach $\mathrm{\sigma}$ auf.
$\displaystyle 48$	$=$	$\displaystyle 50\mathrm{\sigma}$	$\displaystyle :50$
$\displaystyle \frac{24}{25}$	$=$	$\displaystyle \sigma$

Setze $\mathrm\sigma=\frac{24}{25}$ in die Hilfsgerade $k$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}5\\4\\13\end{pmatrix}+\frac{24}{25}\cdot\begin{pmatrix}-3\\-5\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{53}{25}\\-\frac45\\\frac{229}{25}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{a}$ und $S$ .

$\displaystyle \mathrm{d}\left(\overrightarrow{a};S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{53}{25}-5\right)^2+\left(-\frac{4}{5}-4\right)^2+\left(\frac{229}{25}-13\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(-\frac{72}{25}\right)^2+\left(-\frac{24}{5}\right)^2+\left(-\frac{96}{25}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{5184}{625}+\frac{576}{25}+\frac{9216}{625}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{1152}{25}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{24\sqrt{2}}{5}$

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