Stelle zunächst eine Hilfsebene $HH$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $PP$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $gg$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{\{\; n\}\_\; H\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Wähle  $PP$  als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:  $H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0H:\backslash ;\backslash overrightarrow\{n\_H\}\backslash circ\backslash left(\backslash overrightarrow\; x-\backslash overrightarrow\; P\backslash right)=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1\\ {\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -3\end{array}\right)]=0H:\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash left[\backslash begin\{pmatrix\}\{\backslash mathrm\; x\}\_1\backslash \backslash \{\backslash mathrm\; x\}\_2\backslash \backslash \{\backslash mathrm\; x\}\_3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -3\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $gg$ mit der Hilfsebene $HH$, setze dazu die Koordinaten von $gg$ in $HH$ ein und berechne $\lambda \backslash lambda$:

Setze $\lambda =-1\backslash mathrm\backslash lambda=-1$ in die Gerade $gg$  ein, um den Lotfußpunkt $LL$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)+(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -4\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{\; L\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}+\backslash left(-1\backslash right)\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash -2\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}$

Berechne den Abstand der Punkte  $PP$  und  $LL$.

$d(P;L)=\sqrt{{(3-1)}^2+{(-2-(-3))}^2+{(-4-(-3))}^2}d\backslash left(P;L\backslash right)=\backslash sqrt\{\backslash left(3-1\backslash right)^2+\backslash left(-2-\backslash left(-3\backslash right)\backslash right)^2+\backslash left(-4-\backslash left(-3\backslash right)\backslash right)^2\}$

$=\sqrt{2^2+1^2+{(-1)}^2}=\backslash sqrt\{2^2+1^2+\backslash left(-1\backslash right)^2\}$

$=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}=\backslash sqrt\{4+1+1\}=\backslash sqrt6$

Alternative Lösung

Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.

$\overrightarrow{LP}\backslash overrightarrow\{LP\}$ ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, $\overrightarrow{n}\backslash overrightarrow\; n$ ist der Richtungsvektor von $gg$. $LL$ wird nun durch die Geradengleichung von $gg$ ersetzt, da $\text{}LL$ ein Punkt auf $gg$ sein soll. $AA$ ist der Aufpunkt von $\text{}gg$.

Da jetzt $\lambda \lambda$ bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du $\lambda =-1\lambda \; =\; -1$ in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von $\overrightarrow{LP}\backslash overrightarrow\{LP\}$.

Stelle zunächst eine Hilfsebene $HH$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $PP$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $gg$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{n\_H\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Wähle $PP$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0H:\backslash ;\backslash overrightarrow\{n\_H\}\backslash circ\backslash left(\backslash overrightarrow\; x-\backslash overrightarrow\; P\backslash right)=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0H:\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash left[\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash \backslash ;x\_2\backslash \backslash \backslash ;x\_3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}5\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $gg$ mit der Hilfsebene $HH$, setze dazu die Koordinaten von $gg$ in $HH$ ein und berechne $\lambda \backslash lambda$:

Setze  $\lambda =1\backslash mathrm\backslash lambda=1$  in die Gerade  $gg$  ein, um den Lotfußpunkt  $LL$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{\; L\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+1\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\backslash textstyle3\backslash \backslash 2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Berechne den Abstand der Punkte $PP$ und $LL$.

$d(P;L)=\sqrt{{(3-5)}^2+2^2+2^2}d\backslash left(P;L\backslash right)=\backslash sqrt\{\backslash left(3-5\backslash right)^2+2^2+2^2\}$

$=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\backslash sqrt\{2^2+2^2+2^2\}$

$=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}=\backslash sqrt\{4+4+4\}=\backslash sqrt\{12\}=2\backslash sqrt3$

Stelle zunächst eine Hilfsebene $HH$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $PP$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $gg$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{\{\; n\}\_\; H\}=\backslash begin\{pmatrix\}-4\backslash \backslash 3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Wähle $PP$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0H:\backslash ;\backslash overrightarrow\{n\_H\}\backslash circ\backslash left(\backslash overrightarrow\; x-\backslash overrightarrow\; P\backslash right)=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 10\end{array}\right)]=0H:\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}-4\backslash \backslash 3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash left[\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash \backslash ;x\_2\backslash \backslash \backslash ;x\_3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash 3\backslash \backslash 10\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $gg$ mit der Hilfsebene $HH$, setze dazu die Koordinaten von $gg$ in $HH$ ein und berechne $\lambda \backslash lambda$:

Setze  $\lambda =1\backslash mathrm\backslash lambda=1$  in die Gerade  $gg$  ein, um den Lotfußpunkt  $LL$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 5\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{\; L\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}+1\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-4\backslash \backslash 3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 5\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}$

Berechne den Abstand der Punkte $PP$ und $LL$.

$d(P;L)=\sqrt{(-3-(-2){)}^2+(5-3{)}^2+(5-10{)}^2}d(P;L)=\backslash sqrt\{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5-10)^2\}$

$=\sqrt{{(-1)}^2+2^2+{(-5)}^2}=\backslash sqrt\{\backslash left(-1\backslash right)^2+2^2+\backslash left(-5\backslash right)^2\}$

$=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}=\backslash sqrt\{1+4+25\}=\backslash sqrt\{30\}$

Stelle zunächst eine Hilfsebene $HH$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $PP$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $gg$ liegt.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_H}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{n\_H\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 3\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}$

Wähle $PP$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\overrightarrow{n_H}\circ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{P})=0H:\backslash ;\backslash overrightarrow\{n\_H\}\backslash circ\backslash left(\backslash overrightarrow\; x-\backslash overrightarrow\; P\backslash right)=0$.

$H:\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -\mathrm{2,5}\end{array}\right)]=0H:\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 3\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash left[\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash \backslash ;x\_2\backslash \backslash \backslash ;x\_3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}5\backslash \backslash -1\backslash \backslash -2\{,\}5\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $gg$ mit der Hilfsebene $HH$, setze dazu die Koordinaten von $gg$ in $HH$ ein und berechne $\lambda \backslash lambda$:

Setze  $\lambda =2\backslash mathrm\backslash lambda=2$  in die Gerade  $gg$  ein, um den Lotfußpunkt  $LL$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{L}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{\; L\}=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash -6\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}+2\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 3\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$

Berechne den Abstand der Punkte $PP$  und  $LL$.

$d(P;L)=\sqrt{{(3-5)}^2+{(0-(-1))}^2+{(-1-(-\mathrm{2,5}))}^2}d\backslash left(P;L\backslash right)=\backslash sqrt\{\backslash left(3-5\backslash right)^2+\backslash left(0-\backslash left(-1\backslash right)\backslash right)^2+\backslash left(-1-\backslash left(-2\{,\}5\backslash right)\backslash right)^2\}$

$=\sqrt{2^2+1^2+{\mathrm{1,5}}^2}=\backslash sqrt\{2^2+1^2+1\{,\}5^2\}$

$=\sqrt{4+1+\mathrm{2,25}}=\sqrt{\mathrm{7,25}}=\backslash sqrt\{4+1+2\{,\}25\}=\backslash sqrt\{7\{,\}25\}$