Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{{ n}_ H}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$

Wähle  $P$  als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:  $H:\;\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)=0$.

$H:\;\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze $\mathrm\lambda=-1$ in die Gerade $g$  ein, um den Lotfußpunkt $L$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte  $P$  und  $L$.

$d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-2-\left(-3\right)\right)^2+\left(-4-\left(-3\right)\right)^2}$

$=\sqrt{2^2+1^2+\left(-1\right)^2}$

$=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6$

Alternative Lösung

Berechne den Lotfußpunkt L mit dem Skalarprodukt. Da der Lotvektor und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander stehen müssen, muss deren Skalarprodukt 0 ergeben.

$\overrightarrow{LP}$ ist der Lotvektor mit L als Lotfußpunkt, $\overrightarrow n$ ist der Richtungsvektor von $g$. $L$ wird nun durch die Geradengleichung von $g$ ersetzt, da $L$ ein Punkt auf $g$ sein soll. $A$ ist der Aufpunkt von $g$.

Da jetzt $λ$ bekannt ist, kannst du wie oben fortfahren. Berechne zuerst den Lotfußpunkt, indem du $λ = -1$ in die Geradengleichung einsetzt. Dann berechne die Länge von $\overrightarrow{LP}$.

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{n_H}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$

Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\;\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)=0$.

$H:\;\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\\;x_2\\\;x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze  $\mathrm\lambda=1$  in die Gerade  $g$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textstyle3\\2\\2\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$.

$d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(3-5\right)^2+2^2+2^2}$

$=\sqrt{2^2+2^2+2^2}$

$=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt3$

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{{ n}_ H}=\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}$

Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\;\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)=0$.

$H:\;\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\\;x_2\\\;x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\3\\10\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze  $\mathrm\lambda=1$  in die Gerade  $g$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\5\\5\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $P$ und $L$.

$d(P;L)=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5-10)^2}$

$=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+\left(-5\right)^2}$

$=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$

Stelle zunächst eine Hilfsebene $H$ in Normalenform auf, die durch den Punkt $P$ verläuft und die orthogonal zur Geraden $g$ liegt.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{n_H}=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}$

Wähle $P$ als Aufpunkt und stelle die Ebenengleichung auf:

$H:\;\overrightarrow{n_H}\circ\left(\overrightarrow x-\overrightarrow P\right)=0$.

$H:\;\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\\;x_2\\\;x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-1\\-2{,}5\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Hilfsebene in Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt bildest:

Bestimme nun den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$, setze dazu die Koordinaten von $g$ in $H$ ein und berechne $\lambda$:

Setze  $\mathrm\lambda=2$  in die Gerade  $g$  ein, um den Lotfußpunkt  $L$  zu bestimmen.

$\overrightarrow{ L}=\begin{pmatrix}3\\-6\\3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $P$  und  $L$.

$d\left(P;L\right)=\sqrt{\left(3-5\right)^2+\left(0-\left(-1\right)\right)^2+\left(-1-\left(-2{,}5\right)\right)^2}$

$=\sqrt{2^2+1^2+1{,}5^2}$

$=\sqrt{4+1+2{,}25}=\sqrt{7{,}25}$