Der Normalenvektor der Ebene $E$ lautet: $\vec n= \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$. Mit dem Aufpunkt $\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}$ der Geraden $g$ erhältst du die Gleichung der Lotgeraden $h$.

$h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Berechne den Lotfußpunkt $F$, indem du die Lotgerade $h$ mit der Ebene $E$ schneidest. Setze $h$ in $E$ ein:

$h\cap E: 1\cdot(1+r)+2\cdot (4+2r)-3\cdot (3-3r)=6$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$1+r+8+4r-9+9r=6 \Rightarrow$ $14r=6 \Rightarrow r=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}$

Setze $r=\dfrac{3}{7}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu berechnen:

$\overrightarrow{OX_F}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+\dfrac{3}{7} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{6}{7}\\-\frac{9}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{10}{7}\\\frac{34}{7}\\\frac{12}{7}\end{pmatrix}$

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F\left(\frac{10}{7}\vert\frac{34}{7}\vert\frac{12}{7}\right)$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{10}{7}\\\frac{34}{7}\\\frac{12}{7}\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{6}{7}\\-\frac{9}{7}\end{pmatrix}$.

Der Abstand $d(g,E)$ zwischen der Geraden g und der Ebene $E$ ist der Betrag des Lotvektors $\overrightarrow{PF}$:

$d(g,E)=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\sqrt{(\frac{3}{7})^2+(\frac{6}{7})^2+(-\frac{9}{7})^2}=\sqrt{\frac{9}{49}+\frac{36}{49}+\frac{81}{49}}=\sqrt{\frac{126}{49}}=\sqrt{\frac{18}{7}}\approx 1{,}6$

Antwort: Die Gerade hat von der Ebene den Abstand $\approx 1{,}6 \text{ LE}$ und die Koordinaten des Lotfußpunktes lauten $F\left(\frac{10}{7}\vert \frac{34}{7}\vert \frac{12}{7}\right)$.