Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Gegeben sind der Punkt $P\left(5\vert-5\vert6\right)$ und die Ebene

$E:\ 2x_1-2x_2+x_3=8$ .

Gesucht ist der Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ .

Gib auch den Lotfußpunkt an.

Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe das Lotfußpunktverfahren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunkt

1. Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $h$ .

Der Normalenvektor der Ebene $\vec n=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ ist der Richtungsvektor und der Punkt $P$ ist der Aufpunkt der Geraden $h$ . (Der Vektor $\overrightarrow{OP}$ heißt auch Stützvektor der Geraden.)

Lotgerade $h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}5\\-5\\6\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$

2. Berechne den Schnittpunkt $F$ zwischen der Geraden $h$ und der Ebene $E$ :

$h\cap H$

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(5+2r)-2\cdot(-5-2r)+1\cdot(6+r)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 10+4r+10+4r+6+r$
	↓	Terme zusammenfassen
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 9r+26$	$\displaystyle -26$
$\displaystyle -18$	$=$	$\displaystyle 9r$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze $r = - 2$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen:

$\overrightarrow{OX_F}=\begin{pmatrix}5\\-5\\6\end{pmatrix}+(-2) \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-4\\-5+4\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F\left(1\vert -1\vert 4\right)$ .

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF} -\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}$

4. Berechne den gesuchten Abstand $d (P, F)$ als Länge des Lotvektors $|\overrightarrow{PF}|$ :

$d(P,F)=\vert \overrightarrow{PF} \vert=\sqrt{(-4)^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Ebene $E$ den Abstand $6\;\text{LE}$ und der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten $F\left(1\vert -1\vert 4\right)$ .

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