1. Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $h$.

Der Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ist der Richtungsvektor und der Punkt $P$ ist der Aufpunkt der Geraden $h$. (Der Vektor $\overrightarrow{OP}$ heißt auch Stützvektor der Geraden.)

Lotgerade $h:\overrightarrow{OX}=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

2. Berechne den Schnittpunkt $F$ zwischen der Geraden $h$ und der Ebene $E$:

$h\cap H$

Setze $r=-2$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen:

$\overrightarrow{O{X}_F}=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 6\end{array}\right)+(-2)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-4\\ -5+4\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F(1|-1|4)$.

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

4. Berechne den gesuchten Abstand $d(P,F)$ als Länge des Lotvektors $|\overrightarrow{PF}|$:

$d(P,F)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(-4{)}^2+4^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Ebene $E$ den Abstand $6\text{LE}$ und der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten $F(1|-1|4)$.