1. Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $h$.

Der Normalenvektor der Ebene $\vec n=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ist der Richtungsvektor und der Punkt $P$ ist der Aufpunkt der Geraden $h$. (Der Vektor $\overrightarrow{OP}$ heißt auch Stützvektor der Geraden.)

Lotgerade $h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}5\\-5\\6\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$

2. Berechne den Schnittpunkt $F$ zwischen der Geraden $h$ und der Ebene $E$:

$h\cap H$

Setze $r=-2$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen:

$\overrightarrow{OX_F}=\begin{pmatrix}5\\-5\\6\end{pmatrix}+(-2) \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-4\\-5+4\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F\left(1\vert -1\vert 4\right)$.

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF} -\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}$

4. Berechne den gesuchten Abstand $d(P,F)$ als Länge des Lotvektors $|\overrightarrow{PF}|$:

$d(P,F)=\vert \overrightarrow{PF} \vert=\sqrt{(-4)^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Ebene $E$ den Abstand $6\;\text{LE}$ und der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten $F\left(1\vert -1\vert 4\right)$.