Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ ,
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 7 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] = 0$
Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\frac{1}{| \vec{n} |}$ multipliziert wird.
$| \vec{n} | = \sqrt{(- 5)^{2} + (- 4)^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{50}$
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft ( $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ ) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes $A$ von der Ebene bestimmt werden.
$\vec{O A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
Setze $\vec{O A}$ in $E_{H N F}$ ein:
$\begin{aligned} d (A; E) = & | \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})] | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} (5 - 4 + 0) | \\ = & | \frac{1}{\sqrt{50}} | \\ = & \frac{1}{\sqrt{50}} \end{aligned}$
Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$ .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ ,
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ 7 \end{array}) = \vec{a} + σ \cdot \vec{v}$
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})] = 0$
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
$E : - 5 x_{1} - 4 x_{2} - 3 x_{3} + 5 = 0$
Stelle nun eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + τ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .
$0$ $=$ $- 5 \cdot (1 - 5 τ) + (- 4) \cdot (2 - 4 τ) + (- 3) \cdot (- 3 - 3 τ) + 5$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$0$ $=$ $- 5 + 25 τ - 8 + 16 τ + 9 + 9 τ + 5$
↓
Fasse zusammen.
$0$ $=$ $1 + 50 τ$ $- 1$
↓
Löse nach $τ$ auf.
$- 1$ $=$ $50 τ$ $: 50$
$τ$ $=$ $- \frac{1}{50}$
Setze $τ = - \frac{1}{50}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + (- \frac{1}{50}) \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{11}{10} \\ \frac{52}{25} \\ - \frac{147}{50} \end{array})$
Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .
$d (A; S)$ $=$ $\sqrt{{(\frac{11}{10} - 1)}^{2} + {(\frac{52}{25} - 2)}^{2} + {(- \frac{147}{50} - (- 3))}^{2}}$
$=$ $\sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{25})}^{2} + {(\frac{3}{50})}^{2}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1}{100} + \frac{4}{625} + \frac{9}{2500}}$
$=$ $\sqrt{\frac{1}{50}}$
$=$ $\frac{\sqrt{2}}{10}$
Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\frac{\sqrt{2}}{10}$ .
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$0$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})]$
	↓	Vereinfache.
$0$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})]$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$0$	$=$	$3 + μ + (- 1) \cdot (2 - μ) + (- 3) \cdot (- 3 μ)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$3 + μ - 2 + μ + 9 μ$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$1 + 11 μ$	$- 1$
	↓	Löse nach $μ$ auf.
$- 1$	$=$	$11 μ$	$: 11$
$μ$	$=$	$- \frac{1}{11}$

$d (A; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{32}{11} - 3)}^{2} + {(\frac{12}{11} - 1)}^{2} + {(- \frac{8}{11} - (- 1))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{3}{11})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{121} + \frac{1}{121} + \frac{9}{121}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{11}{121}}$
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{11}}$

$0$	$=$	$- 5 \cdot (1 - 5 τ) + (- 4) \cdot (2 - 4 τ) + (- 3) \cdot (- 3 - 3 τ) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$0$	$=$	$- 5 + 25 τ - 8 + 16 τ + 9 + 9 τ + 5$
	↓	Fasse zusammen.
$0$	$=$	$1 + 50 τ$	$- 1$
	↓	Löse nach $τ$ auf.
$- 1$	$=$	$50 τ$	$: 50$
$τ$	$=$	$- \frac{1}{50}$

$d (A; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{11}{10} - 1)}^{2} + {(\frac{52}{25} - 2)}^{2} + {(- \frac{147}{50} - (- 3))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} + {(\frac{2}{25})}^{2} + {(\frac{3}{50})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{100} + \frac{4}{625} + \frac{9}{2500}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{50}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{10}$

Lösung mit Hessescher Normalenform

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

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