Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichungen

Lösung mit Hessescher Normalenform

Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\dfrac{1}{|\vec n|}$ multipliziert wird.

$|\vec n|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{11}$

$E_{HNF}:\;\dfrac{1}{\sqrt{11}}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$

Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft ( $\vec u \circ \vec n=0$ ) kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes $A$ von der Ebene bestimmt werden.

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$

Setze $\overrightarrow{OA}$ in $E_{HNF}$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(A;E)= &\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\left(3-2+0\right)\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right|\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{11}} \end{aligned}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac1{\sqrt{11}}$ .

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$ ,

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{v}$

Stelle eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\right]$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3+\mathrm\mu+\left(-1\right)\cdot\left(2-\mathrm\mu\right)+\left(-3\right)\cdot\left(-3\mathrm\mu\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3+\mathrm\mu-2+\mathrm\mu+9\mathrm\mu$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+11\mu$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $\mathrm\mu$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 11\mu$	$\displaystyle :11$
$\displaystyle \mu$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{11}$

Setze $\mathrm\mu=-\frac1{11}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}+\left(-\frac1{11}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{32}{11}\\[1ex]\frac{12}{11}\\[1ex]-\frac8{11}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .

$\displaystyle d\left(A; S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{32}{11}-3\right)^2+\left(\frac{12}{11}-1\right)^2+\left(-\frac8{11}-\left(-1\right)\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(-\frac1{11}\right)^2+\left(\frac1{11}\right)^2+\left(\frac3{11}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac1{121}+\frac1{121}+\frac9{121}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{11}{121}}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{\sqrt{11}}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac1{\sqrt{11}}$ .

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$E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ ,

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenengleichung

Lösung mit Hessescher Normalenform

Wandle die Ebene in Normalenform um:

Berechne den Normalenvektor:

$\overrightarrow{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;E:\;\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]=0$

Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit $\dfrac{1}{|\vec n|}$ multipliziert wird.

$|\vec n|=\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{50}$

$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Setze $\overrightarrow{OA}$ in $E_{HNF}$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(A;E)= &\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\cdot \begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right]\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\left(5-4+0\right)\right|\\ =&\left|\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right|\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{50}} \end{aligned}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac{1}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt2}{10}$ .

Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden

$E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ ,

$g:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\7\end{pmatrix}=\overrightarrow{a}+\sigma \cdot \overrightarrow{v}$

Wandle die Ebene in Koordinatenform um:

Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.

$\overrightarrow{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;E:\;\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Ebene in Koordinatenform um.

$E:\;-5x_1-4x_2-3x_3+5=0$

Stelle nun eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\tau\cdot\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -5 \cdot (1-5\tau)+(-4) \cdot (2-4\tau)+(-3 ) \cdot (-3-3\tau)+5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -5+25\mathrm\tau-8+16\mathrm\tau+9+9\mathrm\tau+5$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1+50\mathrm\tau$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $\mathrm\tau$ auf.
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 50\mathrm\tau$	$\displaystyle :50$
$\displaystyle \mathrm\tau$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{50}$

Setze $\mathrm\tau=-\frac1{50}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\left(-\frac1{50}\right)\cdot\begin{pmatrix}-5\\-4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{10}\\[1ex]\frac{52}{25}\\[1ex]-\frac{147}{50}\end{pmatrix}$

Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ .

$\displaystyle d\left(A;\ S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{11}{10}-1\right)^2+\left(\frac{52}{25}-2\right)^2+\left(-\frac{147}{50}-\left(-3\right)\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac1{10}\right)^2+\left(\frac2{25}\right)^2+\left(\frac3{50}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac1{100}+\frac4{625}+\frac9{2500}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac1{50}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt2}{10}$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $\dfrac{\sqrt2}{10}$ .

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