Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

$E:\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$ , $F:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen

Stelle eine Hilfsgeraden $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{a}$ der Ebene $F$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\mathrm\sigma\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\sigma\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle -2\cdot\left(1-2\mathrm\sigma\right)+3\cdot\left(3+3\mathrm\sigma\right)+6\cdot\left(6\mathrm\sigma\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$\displaystyle -2+4\mathrm\sigma+9+9\mathrm\sigma+36\mathrm\sigma$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 7+49\mathrm\sigma$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $\mathrm\sigma$ auf.
$\displaystyle \mathrm\sigma$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{7}$
	↓	Setze $\mathrm\sigma=-\frac17$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\displaystyle \overrightarrow{ S}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\left(-\frac17\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac97\\\frac{25}7\\\frac87\end{pmatrix}$
	↓	Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{ a}$ und $S$ .
$\displaystyle d\left(A_2;S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac97-1\right)^2+\left(\frac{25}7-4\right)^2+\left(\frac87-2\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac27\right)^2+\left(-\frac37\right)^2+\left(-\frac67\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac4{49}+\frac9{49}+\frac{36}{49}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{49}{49}}$
	$=$	$\displaystyle 1$

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$E:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ , $F:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\sigma\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\tau\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen

Wandle eine Ebene in Koordinatenform um :

Berechne den Normalenvektor der Ebene $\mathrm E$ , um sie zunächst in Normalenform umwandeln zu können.

$\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-7\\-1\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\;E:\;\begin{pmatrix}-2\\-7\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Wandle die Ebene in Koordinatenform um.

$E:\;-2x_1-7x_2-x_3+14=0$

Stelle eine nun Hilfsgeraden $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$

der Ebene $F$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\nu\cdot\begin{pmatrix}-2\\-7\\-1\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .

$\displaystyle -2\cdot(3-2\nu)+(-7)\cdot(-1-7\nu)+(-1)\cdot(-2-\nu)+14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle -6+4\mathrm{\nu}+7+49\mathrm{\nu}+2+\mathrm{\nu}+14$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 17+54v$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach v auf.
$\displaystyle v$	$=$	$\displaystyle -\frac{17}{54}$

Setze $\mathrm{\nu}=-\frac{17}{54}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\displaystyle \overrightarrow{S}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\left(-\frac{17}{54}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\-7\\-1\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{98}{27}\\\frac{65}{54}\\-\frac{91}{54}\end{pmatrix}$
	↓	Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{ a}$ und $S$ .
$\displaystyle d(\overrightarrow{ a};S)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{98}{27}-3\right)^2+\left(\frac{65}{54}-(-1)\right)^2+\left(-\frac{91}{54}-(-2)\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{17}{27}\right)^2+\left(\frac{119}{54}\right)^2+\left(\frac{17}{54}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{289}{729}+\frac{14161}{2916}+\frac{289}{2916}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{289}{54}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{17}{3\sqrt{6}}$

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$E:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$ , $E:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen

Stelle eine Hilfsgeraden $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Ebene $F$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h:\;\overrightarrow x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 2\cdot\left(1+2\mathrm\lambda\right)+\left(-3\right)\cdot\left(3-3\mathrm\lambda\right)+5\cdot\left(1+5\mathrm\lambda\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2+4\mathrm\lambda-9+9\mathrm\lambda+5+25\mathrm\lambda$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -2+38\mathrm\lambda$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $\mathrm\lambda$ auf.
$\displaystyle \mathrm{\lambda}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{19}$
	↓	Setze $\mathrm\lambda=\frac1{19}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\displaystyle \overrightarrow{S}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\frac1{19}\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{21}{19}\\\frac{35}{19}\\\frac5{19}\end{pmatrix}$
	↓	Berechne den Abstand der Punkte $\overrightarrow{ a}$ und $S$ .
$\displaystyle d\left(\overrightarrow{ a};S\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{21}{19}-1\right)^2+\left(\frac{35}{19}-2\right)^2+\left(\frac5{19}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(\frac2{19}\right)^2+\left(-\frac3{19}\right)^2+\left(\frac5{19}\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac4{361}+\frac9{361}+\frac{25}{361}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{38}{361}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{2}{19}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{38}}$

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