Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

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Berechne den Abstand der beiden Ebenen.

$E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})] = 0$ , $F : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen

Stelle eine Hilfsgeraden $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $F$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})]$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})]$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$- 2 \cdot (1 - 2 σ) + 3 \cdot (3 + 3 σ) + 6 \cdot (6 σ)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$- 2 + 4 σ + 9 + 9 σ + 36 σ$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$7 + 49 σ$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $σ$ auf.
$σ$	$=$	$- \frac{1}{7}$
	↓	Setze $σ = - \frac{1}{7}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + (- \frac{1}{7}) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{9}{7} \\ \frac{25}{7} \\ \frac{8}{7} \end{array})$
	↓	Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (A_{2}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{9}{7} - 1)}^{2} + {(\frac{25}{7} - 4)}^{2} + {(\frac{8}{7} - 2)}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(\frac{2}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{6}{7})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{49}{49}}$
	$=$	$1$

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$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ , $F : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + σ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + τ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen

Wandle eine Ebene in Koordinatenform um :

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E$ , um sie zunächst in Normalenform umwandeln zu können.

$\vec{n_{E}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$

$\Rightarrow E : (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})] = 0$

Wandle die Ebene in Koordinatenform um.

$E : - 2 x_{1} - 7 x_{2} - x_{3} + 14 = 0$

Stelle eine nun Hilfsgeraden $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$

der Ebene $F$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + ν \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ .

$- 2 \cdot (3 - 2 ν) + (- 7) \cdot (- 1 - 7 ν) + (- 1) \cdot (- 2 - ν) + 14$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$- 6 + 4 ν + 7 + 49 ν + 2 + ν + 14$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$17 + 54 v$	$=$	$0$
	↓	Löse nach v auf.
$v$	$=$	$- \frac{17}{54}$

Setze $ν = - \frac{17}{54}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

$\vec{S}$	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + (- \frac{17}{54}) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 7 \\ - 1 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{98}{27} \\ \frac{65}{54} \\ - \frac{91}{54} \end{array})$
	↓	Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{98}{27} - 3)}^{2} + {(\frac{65}{54} - (- 1))}^{2} + {(- \frac{91}{54} - (- 2))}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(\frac{17}{27})}^{2} + {(\frac{119}{54})}^{2} + {(\frac{17}{54})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{289}{729} + \frac{14161}{2916} + \frac{289}{2916}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{289}{54}}$
	$=$	$\frac{17}{3 \sqrt{6}}$

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$E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})] = 0$ , $E : (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \\ - 10 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Ebenen berechnen

Stelle eine Hilfsgeraden $h$ auf, die durch den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $F$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt.

D.h. der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array})$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu einfach die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.

$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})]$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array})]$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$2 \cdot (1 + 2 λ) + (- 3) \cdot (3 - 3 λ) + 5 \cdot (1 + 5 λ)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 + 4 λ - 9 + 9 λ + 5 + 25 λ$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- 2 + 38 λ$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $λ$ auf.
$λ$	$=$	$\frac{1}{19}$
	↓	Setze $λ = \frac{1}{19}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.
$\vec{S}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{19} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{21}{19} \\ \frac{35}{19} \\ \frac{5}{19} \end{array})$
	↓	Berechne den Abstand der Punkte $\vec{a}$ und $S$ .
$d (\vec{a}; S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{21}{19} - 1)}^{2} + {(\frac{35}{19} - 2)}^{2} + {(\frac{5}{19})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{{(\frac{2}{19})}^{2} + {(- \frac{3}{19})}^{2} + {(\frac{5}{19})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{4}{361} + \frac{9}{361} + \frac{25}{361}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{38}{361}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{2}{19}}$
	$=$	$\frac{2}{\sqrt{38}}$

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