1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H:\overrightarrow{n}\circ (\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA})=0$.

Dabei ist $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\overrightarrow{OA}$ setzt du den Ortsvektor, der zum Punkt $P$ gehört ein: $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -2\end{array}\right)$

$H:\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{OX}-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -2\end{array}\right)]=0$

2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$:

$g\cap H:\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -2\end{array}\right)]=0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$(-1)\cdot (-r)+1\cdot (-6+r)+1\cdot (3+r)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$r-6+r+3+r=0\Rightarrow 3\cdot r=3$ mit der Lösung $r=1$.

Berechne den Lotfußpunkt $F$: Setze dazu $r=1$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\overrightarrow{O{X}_F}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F\left(3|1|2\right)$ .

3. Berechne den Lotvektor: $\overrightarrow{PF}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 4\end{array}\right)$.

Berechne den gesuchten Abstand $d(P,F)$ als Länge des Lotvektors $|\overrightarrow{PF}|$:

$d(P,F)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-5{)}^2+4^2}=\sqrt{1+25+16}=\sqrt{42}\approx \mathrm{6,48}$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{42}\approx \mathrm{6,48}\text{LE}$ und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F\left(3|1|2\right)$.