1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene $H:\; \vec n \circ\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)=0$.

Dabei ist $\vec n=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$der Richtungsvektor der Geraden $g$ und für $\overrightarrow{OA}$ setzt du den Ortsvektor, der zum Punkt $P$ gehört ein: $\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$

$H:\;\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}\right]=0$

2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $H$:

$\;\; g \cap H:\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}\right]=0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}0\\-6\\3\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$(-1)\cdot (-r)+1\cdot(-6+r)+1\cdot(3+r)=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$r-6+r+3+r=0\Rightarrow \;3\cdot r =3$ mit der Lösung $r=1$.

Berechne den Lotfußpunkt $F$: Setze dazu $r=1$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\overrightarrow {OX_F}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F\left(3|1|2\right)$ .

3. Berechne den Lotvektor: $\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\4\end{pmatrix}$.

Berechne den gesuchten Abstand $d(P,F)$ als Länge des Lotvektors $|\overrightarrow{PF}|$:

$d(P,F)=\vert \overrightarrow{PF} \vert=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2+4^2}=\sqrt{1+25+16}=\sqrt{42}\approx 6{,}48$

Antwort: Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ den Abstand $\sqrt{42}\approx 6{,}48\;\text{LE}$ und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F\left(3|1|2\right)$.