Die gegebene Parameterform der Ebene $E$ wird zunächst in die Normalenform umgewandelt. Dazu berechnest du den Normalenvektor $\vec n$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.

$\vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}$mit Faktor 2 verkürzt gilt: $\vec n= \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Anschließend setzt du diesen Normalenvektor $\vec n$ und den Aufpunkt aus der Parameterform für $\overrightarrow{OA}$ in die Normalenform $\vec n \circ\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)=0$ ein.

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Aus dieser Normalenform entsteht die Hessesche Normalenform indem du die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors $|\vec n|$ teilt.

$|\vec n|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}$ .

$E_{HNF}:\;\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Um den Abstand $d(P;E)$ des Punktes $P$ von der Ebene $E$ zu berechnen, setzt du den Vektor $\overrightarrow{OP}$ für $\overrightarrow{OX}$ in die Hessesche Normalenform ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}d(P;E)=\left|\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-1\\4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left|\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right]\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left|\frac{1}{\sqrt{6}}\left(-2-4+0\right)\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left\vert\frac{-6}{\sqrt{6}}\right\vert\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{6}\end{array}$

Antwort: Der Punkt $P$ hat somit den Abstand $\sqrt{6}\approx 2{,}45\; LE$ von der Ebene $E$.

Nachteil dieser Methode: Es wird nur der Abstand berechnet. Der Lotfußpunkt kann nicht angegeben werden.