1. Berechne zunächst den Normalenvektor: $\vec{n_1}=\vec{u}\times \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}$oder $\vec{n_1}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

$H:\ \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+r\cdot\vec{v}+ s\cdot\vec{n_1}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

Die Parametergleichung von $H$ wird in die Normalenform umgewandelt:

$\vec{n_2}=\vec{v}\times \vec{n_1}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\2\\10\end{pmatrix}$

Für den Vektor $\overrightarrow{OA}$ in der Normalenform setzt du den Aufpunkt $\overrightarrow{OB}$ der Geraden $h$ ein.

$\Rightarrow \;\;H: \ \vec n_2 \circ\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OB}\right)=\begin{pmatrix}-7\\2\\10\end{pmatrix}\circ\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}\right)=0$

2. Berechne den Schnittpunkt $F_g$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$.

$g\cap H:\ \begin{pmatrix}-7\\2\\10\end{pmatrix}\circ\left(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}\right)=0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$\begin{pmatrix}-7\\2\\10\end{pmatrix}\circ\left(\begin{pmatrix}-1\\-5\\3\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right)=0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$(-7)\cdot (-1+r)+2\cdot(-5-r)+10\cdot3=0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des  Distributivgesetzes aus:

$7-7r-10-2r+30=0\Rightarrow \;27-9\cdot r =0$ mit der Lösung $r=3$.

Lotfußpunkt $F_g$: Setze $r=3$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\overrightarrow {OX_F}=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+3 \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}$.

Der Lotfußpunkt $F_g$ hat die Koordinaten: $F_g\left(3\vert -4\vert 1\right)$.

3. Bestimme die Lotgerade $k$, die senkrecht zu $g$ ist und in $H$ liegt.

$k_{Lot}:\ \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OF_h} +r \cdot \vec n_1=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

4. Berechne den Schnittpunkt $F_h$ der Geraden $h$ mit der Lotgeraden $k$.

$h\cap k:\;\;\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;\;$

Forme die Gleichung um $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}-2\\8\\-3\end{pmatrix}=r \cdot \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$$

Du erhältst 3 Gleichungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \;\mathrm{(I)}:\;\;\;-2 & = & -2r & +&2s&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\;\;\; 8 & =& 3r&+&2s\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;-3 & = & -2r & +&s&\end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.

Rechne zum Beispiel: $\mathrm{(I)} -\mathrm{(III)}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \;\mathrm{(I)}:\;\;\;-2 & = & -2r & +&2s&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\;\;\; 8 & =& 3r&+&2s\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;-3 & = & -2r & +&s&\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\;\;\;=\;\;\;\;\;\;0r\;\;\;+\;\;\;1s\;\;\;\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow s=1$

Aus $\mathrm{(III)} \Rightarrow -3=-2r+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow r=2$

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow {OF_h}$ und dann den Vektor $\overrightarrow {F_gF_h}$. $$

$\overrightarrow {OF_h} =\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-2\\2\end{pmatrix}$

Der Lotfußpunkt $F_h$ hat die Koordinaten: $F_h\left(5\vert -2\vert 2\right)$.

$\overrightarrow {F_gF_h}=\begin{pmatrix}5\\-2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

6. Berechne den Abstand der beiden Geraden als Betrag des Vektors $d(g,h)=\vert \overrightarrow {F_gF_h} \vert$.$$$$

$d(g,h)=\vert \overrightarrow {F_gF_h} \vert=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3$

Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $3\;\text{LE}$. Zusätzlich hast du die beiden Lotfußpunkte auf den beiden Geraden berechnet: $F_g\left(3\vert -4\vert 1\right)$ und $F_h\left(5\vert -2\vert 2\right)$.