Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden

$g : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})$ und

$h : \vec{O X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$

Berechne ihren Abstand und die Lotfußpunkte auf den beiden Geraden.

Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine Hilfsebene $H$ in Parameterform, die die Gerade $h$ enthält. Als zweiten Richtungsvektor von $H$ verwendest du den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. Wandle die Ebene in die Normalenform um.

Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $k$ , die senkrecht zu $g$ ist und in $H$ liegt.

Schneide $k$ mit $g$ und mit $h$ .

1. Berechne zunächst den Normalenvektor: $\vec{n_{1}} = \vec{u} \times \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$ oder $\vec{n_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

$H : \vec{O X} = \vec{O B} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{n_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Die Parametergleichung von $H$ wird in die Normalenform umgewandelt:

$\vec{n_{2}} = \vec{v} \times \vec{n_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array})$

Für den Vektor $\vec{O A}$ in der Normalenform setzt du den Aufpunkt $\vec{O B}$ der Geraden $h$ ein.

$\Rightarrow H : {\vec{n}}_{2} \circ (\vec{O X} - \vec{O B}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array}) \circ (\vec{O X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})) = 0$

2. Berechne den Schnittpunkt $F_{g}$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ .

$g \cap H : (\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array}) \circ ((\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})) = 0$

Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.

$(\begin{array}{c} - 7 \\ 2 \\ 10 \end{array}) \circ ((\begin{array}{c} - 1 \\ - 5 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array})) = 0$

Berechne zunächst das Skalarprodukt :

$(- 7) \cdot (- 1 + r) + 2 \cdot (- 5 - r) + 10 \cdot 3 = 0$

Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:

$7 - 7 r - 10 - 2 r + 30 = 0 \Rightarrow 27 - 9 \cdot r = 0$ mit der Lösung $r = 3$ .

Lotfußpunkt $F_{g}$ : Setze $r = 3$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\vec{O X_{F}} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ .

Der Lotfußpunkt $F_{g}$ hat die Koordinaten: $F_{g} (3 | - 4 | 1)$ .

3. Bestimme die Lotgerade $k$ , die senkrecht zu $g$ ist und in $H$ liegt.

$k_{L o t} : \vec{O X} = \vec{O F_{h}} + r \cdot {\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

4. Berechne den Schnittpunkt $F_{h}$ der Geraden $h$ mit der Lotgeraden $k$ .

$h \cap k : (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Forme die Gleichung um $\Rightarrow$ $(\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \\ - 3 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Du erhältst 3 Gleichungen:

$\begin{array}{cccccccl} (I) : - 2 & = & - 2 r & + & 2 s \\ (I I) : 8 & = & 3 r & + & 2 s \\ (I I I) : - 3 & = & - 2 r & + & s \end{array}$

Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren.

Rechne zum Beispiel: $(I) - (I I I)$

$\begin{array}{cccccccl} (I) : - 2 & = & - 2 r & + & 2 s \\ (I I) : 8 & = & 3 r & + & 2 s \\ (I I I) : - 3 & = & - 2 r & + & s \end{array}$

$1 = 0 r + 1 s \Rightarrow s = 1$

Aus $(I I I) \Rightarrow - 3 = - 2 r + 1 \Rightarrow r = 2$

5. Berechne den Vektor $\vec{O F_{h}}$ und dann den Vektor $\vec{F_{g} F_{h}}$ .

$\vec{O F_{h}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$

Der Lotfußpunkt $F_{h}$ hat die Koordinaten: $F_{h} (5 | - 2 | 2)$ .

$\vec{F_{g} F_{h}} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

6. Berechne den Abstand der beiden Geraden als Betrag des Vektors $d (g, h) = | \vec{F_{g} F_{h}} |$ .

$d (g, h) = | \vec{F_{g} F_{h}} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $3 LE$ . Zusätzlich hast du die beiden Lotfußpunkte auf den beiden Geraden berechnet: $F_{g} (3 | - 4 | 1)$ und $F_{h} (5 | - 2 | 2)$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?