1. Berechne zunächst den Normalenvektor:

$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}$oder $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

In die Normalenform $H:\ \vec{n}\circ\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)=0$ wird der berechnete Normalenvektor und der Aufpunkt der Geraden $h$ eingesetzt $\left(h\in H\right)$.

$\Rightarrow \;\;$$H: \ \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}\right)=0$

2. Schreibe die Normalenform der Ebene $H$ als Koordinatenform:

$2x_1+2x_2+x_3-(2+8-2)=0$ $\;\;\Rightarrow 2x_1+2x_2+x_3-8=0$

3. Berechne den Betrag des Normalenvektor $|\vec n|$ und wandle die Koordinatenform der Ebene in die Hessesche Normalenform um. Der Normalenvektor der Ebene $H$ ist $\vec n=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$.

$|\vec n|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$

$H_{HNF}:\ \dfrac{2x_1+2x_2+x_3-8}{3}=0$

4. Setze die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden g in die Hessesche Normalenform ein:

$d(g,k)=\left|\dfrac{2\cdot 0+2\cdot(-1)+1\cdot1-8}{3}\right|=\left|\dfrac{-9}{3}\right|=\left|-3\right|=3$

Antwort: Die beiden Geraden haben den Abstand $3\;\text{LE}$.

Nachteil: Die Lotfußpunkte können nicht berechnet werden.