1. Erstelle von beiden Ebenen die Hessesche Normalenform:

$E_{HNF1}=\dfrac{2x_1-3x_2+x_3-4}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac{2x_1-3x_2+x_3-4}{\sqrt{14}}=0$

$E_{HNF2}=\dfrac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac{2x_1-3x_2+x_3-7}{\sqrt{14}}=0$

2. Setze in beide Hesseschen Normalenformen den Koordinatenursprung $O\left(0\vert 0\vert 0\right)$ ein:

$d(O,E_1)=\left|\dfrac{2\cdot 0-3\cdot 0+1\cdot 0-4}{\sqrt{14}}\right|=\left|\dfrac{-4}{\sqrt{14}}\right|=\dfrac{4}{\sqrt{14}}$

$d(O,E_2)=\left|\dfrac{2\cdot 0-3\cdot 0+1\cdot 0-7}{\sqrt{14}}\right|=\left|\dfrac{-7}{\sqrt{14}}\right|=\dfrac{7}{\sqrt{14}}$

Bei beiden Berechnungen sind die Werte in den Betragsstrichen negativ, d.h. beide Ebenen liegen oberhalb des Koordinatenursprungs.

$\Rightarrow d(E_1,E_2)=\left|d(O,E_1)-d(O,E_2)\right|=\left|\frac{4}{\sqrt{14}}-\frac{7}{\sqrt{14}}\right|=\frac{3}{\sqrt{14}}\approx0{,}8$

Antwort: Die beiden Ebenen haben einen Abstand von $\approx 0{,}8 \;\text{LE}$.