Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

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Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.

$P\left(4\;\left|\;3\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $E:\;3x_1+x_2-2x_3-5=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , $x_2$ und $x_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+1^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{14}}\cdot\left(3x_1+x_2-2x_3-5\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{14}}\cdot\left(3\cdot4+3-2\cdot1-5\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{14}}\cdot8\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{\sqrt{14}}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}138$

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$P\left(-1\;\left|\;1\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $E:\;x_1+2x_2-x_3-3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ . Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $\mathrm E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt6}\cdot\left(x_1+2x_2-x_3-3\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\left(-1+2-3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\left(-2\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}816$

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$P\left(1\;\left|\;8\;\left|\;5\right.\right.\right)$ , $E:\;2x_1-x_2+2x_3-7=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac13\cdot\left(2x_1-x_2+2x_3-7\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac13\cdot\left(2x_1-x_2+2x_3-7\right)=0$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{3}\cdot\left(2-8+2\cdot5-7\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{3}\cdot\left(-3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3}$
	$=$	$\displaystyle 1$

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$P\left(0\;\left|\;8\;\left|\;1\right.5\right.\right)$ , $E:\;4x_1-3x_2+x_3-2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2+1^2}=\sqrt{16+9+1}=\sqrt{26}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $\mathrm E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{26}}\cdot\left(4x_1-3x_2+x_3-2\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{26}}\cdot\left(-3\cdot8+15-2\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{26}}\cdot\left(-11\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{11}{\sqrt{26}}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}157$

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$P\left(2\;\left|\;-1\;\left|\;3\right.\right.\right)$ , $E:\;5x_1+x_2+x_3-1=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{5^2+1^2+1^2}=\sqrt{25+1+1}=\sqrt{27}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{27}}\cdot\left(5x_1+x_2+x_3-1\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{27}}\cdot\left(5\cdot2-1+3-1\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{27}}\cdot11\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{11}{\sqrt{27}}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}117$

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$P\left(7\;\left|\;8\;\left|\;9\right.\right.\right)$ , $E:\;x_1+x_2+3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen

Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow n\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Ebene $E$ gilt $\overrightarrow{ n}\circ\overrightarrow{ a}= -3$

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-\frac1{\sqrt2}\cdot\left(x_1+x_2+3\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(7+8+3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot18\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{18}{\sqrt{2}}$
	$=$	$\displaystyle 9\sqrt{2}$
	$≈$	$\displaystyle 12{,}728$

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$P\left(5\;\left|\;-4\;\left|\;6\right.\right.\right)$ , $E:\;x_3+2=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.
$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
Der Normalenvektor ist bereits normiert.
$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2}=1$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\overrightarrow{ a}$ der Ebene $E$ gilt $\overrightarrow{ n}\circ\overrightarrow{ a}=- 2$
$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;-1\cdot\left(x_3+2\right)=0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d\left(0;E\right)=\left|-1\cdot\left(6+2\right)\right|=8$
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$P\left(1\;\left|\;3\;\left|\;3\right.\right.\right)$ , $E:\;10x_1-7x_2+2x_3-5=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und $x_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}10\\-7\\2\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}10\\-7\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{10^2+\left(-7\right)^2+2^2}=\sqrt{100+49+4}=\sqrt{153}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{153}}\cdot\left(10x_1+-7x_2+2x_3-5\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{153}}\cdot\left(10-7\cdot3+2\cdot3-5\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{153}}\cdot10\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{10}{\sqrt{153}}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}808$

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$P\left(2\;\left|\;0\;\left|\;7\right.\right.\right)$ , $E:\;8x_1+3x_2-5x_3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , ${ x}_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}8\\3\\-5\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}8\\3\\-5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+3^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{64+9+25}=\sqrt{98}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{98}}\cdot\left(8x_1+3x_2-5x_3\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{98}}\cdot\left(8\cdot2-5\cdot7\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{98}}\cdot-19\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{19}{\sqrt{98}}$
	$≈$	$\displaystyle 1{,}919$

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$P\left(100\;\left|\;200\;\left|\;50\right.\right.\right)$ , $E:\;9x_1-4x_2-7x_3-11=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen

Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .

Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von ${ x}_1$ , $x_2$ und ${ x}_3$ überein.

$\overrightarrow{ n}=\begin{pmatrix}9\\-4\\-7\end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\left|\overrightarrow{ n}\right|=\left|\begin{pmatrix}9\\-4\\-7\end{pmatrix}\right|=\sqrt{9^2+\left(-4\right)^2+\left(-7\right)^2}\\=\sqrt{81+16+49}=\sqrt{146}$

Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.

$\mathrm{HNF}\left(E\right):\;\frac1{\sqrt{146}}\cdot\left(9x_1-4x_2-7x_3-11\right)=0$

Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.

$\displaystyle d\left(0;E\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{146}}\cdot\left(9\cdot100-4\cdot200-7\cdot50-11\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{1}{\sqrt{146}}\cdot\left(-261\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac{261}{\sqrt{146}}$
	$≈$	$\displaystyle 21{,}601$

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