Aufgaben zum Abstand - lernen mit Serlo!

Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene.

$P (4 | 3 | 1)$ , $E : 3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) | = \sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 5) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 1 - 5) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot 8 |$
$=$ $\frac{8}{\sqrt{14}}$
$\approx$ $2,138$
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$P (- 1 | 1 | 0)$ , $E : x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ . Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 3) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 1 + 2 - 3) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 2) |$
$=$ $\frac{2}{\sqrt{6}}$
$\approx$ $0,816$
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$P (1 | 8 | 5)$ , $E : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $HNF (E) : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - 7) = 0$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{3} \cdot (2 - 8 + 2 \cdot 5 - 7) |$
$=$ $| \frac{1}{3} \cdot (- 3) |$
$=$ $\frac{3}{3}$
$=$ $1$
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$P (0 | 8 | 1 5)$ , $E : 4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - 2) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 3 \cdot 8 + 15 - 2) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 11) |$
$=$ $\frac{11}{\sqrt{26}}$
$\approx$ $2,157$
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$P (2 | - 1 | 3)$ , $E : 5 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{5^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 x_{1} + x_{2} + x_{3} - 1) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 \cdot 2 - 1 + 3 - 1) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot 11 |$
$=$ $\frac{11}{\sqrt{27}}$
$\approx$ $2,117$
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$P (7 | 8 | 9)$ , $E : x_{1} + x_{2} + 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand des Koordinatenursprungs von einer Ebene berechnen
Bestimme zuerst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 3$
$HNF (E) : - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x_{1} + x_{2} + 3) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (7 + 8 + 3) |$
$=$ $| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 18 |$
$=$ $\frac{18}{\sqrt{2}}$
$=$ $9 \sqrt{2}$
$\approx$ $12,728$
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$P (5 | - 4 | 6)$ , $E : x_{3} + 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Der Normalenvektor ist bereits normiert.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) | = \sqrt{1^{2}} = 1$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf. Für den Aufpunkt $\vec{a}$ der Ebene $E$ gilt $\vec{n} \circ \vec{a} = - 2$
$HNF (E) : - 1 \cdot (x_{3} + 2) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E) = | - 1 \cdot (6 + 2) | = 8$
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$P (1 | 3 | 3)$ , $E : 10 x_{1} - 7 x_{2} + 2 x_{3} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 10 \\ - 7 \\ 2 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 10 \\ - 7 \\ 2 \end{array}) | = \sqrt{10^{2} + {(- 7)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{100 + 49 + 4} = \sqrt{153}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 x_{1} + - 7 x_{2} + 2 x_{3} - 5) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 - 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 5) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot 10 |$
$=$ $\frac{10}{\sqrt{153}}$
$\approx$ $0,808$
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$P (2 | 0 | 7)$ , $E : 8 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 5 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$| \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 8 \\ 3 \\ - 5 \end{array}) | = \sqrt{8^{2} + 3^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{64 + 9 + 25} = \sqrt{98}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3}) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 \cdot 2 - 5 \cdot 7) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot - 19 |$
$=$ $\frac{19}{\sqrt{98}}$
$\approx$ $1,919$
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$P (100 | 200 | 50)$ , $E : 9 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} - 11 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
Bestimme zunächst die Einträge des Normalenvektors der Ebene $E$ .
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ überein.
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 9 \\ - 4 \\ - 7 \end{array})$
Berechne den Betrag des Normalenvektors.
$\begin{array}{l} | \vec{n} | = | (\begin{array}{c} 9 \\ - 4 \\ - 7 \end{array}) | = \sqrt{9^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 7)}^{2}} \\ = \sqrt{81 + 16 + 49} = \sqrt{146} \end{array}$
Stelle nun die Gleichung der Ebene $E$ in Hessenormalform auf.
$HNF (E) : \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} - 11) = 0$
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $P$ in die Hessenormalform der Ebene $E$ ein, um den Abstand zu bestimmen.
$d (0; E)$ $=$ $| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 \cdot 100 - 4 \cdot 200 - 7 \cdot 50 - 11) |$
$=$ $| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (- 261) |$
$=$ $\frac{261}{\sqrt{146}}$
$\approx$ $21,601$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (3 \cdot 4 + 3 - 2 \cdot 1 - 5) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot 8 \|$
	$=$	$\frac{8}{\sqrt{14}}$
	$\approx$	$2,138$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 1 + 2 - 3) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (- 2) \|$
	$=$	$\frac{2}{\sqrt{6}}$
	$\approx$	$0,816$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{3} \cdot (2 - 8 + 2 \cdot 5 - 7) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{3} \cdot (- 3) \|$
	$=$	$\frac{3}{3}$
	$=$	$1$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 3 \cdot 8 + 15 - 2) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- 11) \|$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{26}}$
	$\approx$	$2,157$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot (5 \cdot 2 - 1 + 3 - 1) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{27}} \cdot 11 \|$
	$=$	$\frac{11}{\sqrt{27}}$
	$\approx$	$2,117$

$d (0; E)$	$=$	$\| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (7 + 8 + 3) \|$
	$=$	$\| - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 18 \|$
	$=$	$\frac{18}{\sqrt{2}}$
	$=$	$9 \sqrt{2}$
	$\approx$	$12,728$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot (10 - 7 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 5) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{153}} \cdot 10 \|$
	$=$	$\frac{10}{\sqrt{153}}$
	$\approx$	$0,808$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot (8 \cdot 2 - 5 \cdot 7) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{98}} \cdot - 19 \|$
	$=$	$\frac{19}{\sqrt{98}}$
	$\approx$	$1,919$

$d (0; E)$	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (9 \cdot 100 - 4 \cdot 200 - 7 \cdot 50 - 11) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{\sqrt{146}} \cdot (- 261) \|$
	$=$	$\frac{261}{\sqrt{146}}$
	$\approx$	$21,601$

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