Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

Gegeben ist die Funktionenschar ${\mathrm f}_\mathrm a$ mit ${\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac1{\mathrm a^2}\mathrm x^3-\frac3{\mathrm a}\mathrm x^2-9\mathrm x+5\left(\mathrm a+1\right)$ mit dem negativen Parameter $\mathrm a$ .

Untersuche die Lage des Maximums.
Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximum einer Funktion bestimmen

1 Bilde die erste Ableitung.

$\displaystyle f´_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^2}\cdot3x^2-\frac{3}{a}\cdot2x-9$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{a^2}x^2-\frac{6}{a}x-9$
	↓	Setze die 1.Ableitung gleich Null, um Extremstellen zu bestimmen.
$\displaystyle \frac{3}{a^2}x^2-\frac{6}{a}x-9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
	$=$

${\mathrm x}_{1{,}2}=\frac{{\displaystyle\frac6{\mathrm a}}\pm\sqrt{{\displaystyle\frac{36}{\mathrm a^2}}-4\cdot{\displaystyle\frac3{\mathrm a^2}}\cdot\left(-9\right)}}{2\cdot\displaystyle\frac3{\mathrm a^2}}$

	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6}{a}\pm\frac{12}{a}\right)\cdot\frac{a^2}{6}$
	↓	Berechne die beiden Lösungen.

$\Rightarrow\;\;{\mathrm x}_1=3\mathrm a\;\;,\;\;{\mathrm x}_2=-\mathrm a$

Bestimme die Vorzeichen der 1. Ableitung zwischen den Extremstellen.

Beachte dabei, dass 3a "links" von -a liegt, da a nach Voraussetzung a negativ ist.

Zudem ist die Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit die Vorzeichenfolge $+-+$ hat.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\Rightarrow\;\;\underline{\mathrm f'>0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm f'<0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm f'>0}\\\;\;\;\;\;\;\mathrm{steigt}^{\;\;\;\;\;\;3\mathrm a}\;\;\;\;\;\;\mathrm{fällt}^{\;\;\;\;\;\;-\mathrm a}\;\;\;\;\mathrm{steigt}\end{array}$

Es gibt also einen Vorzeichenwechsel bei $x=3a$ von $+ \rightarrow -$ d. h. bei $x=3a$ liegt die Maximalstelle.

Maximalstelle:

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3a$
	↓	Berechne den y-Wert zu diesem x-Wert, indem du $x=3a$ in ${\mathrm f}_\mathrm a$ einsetzt.
$\displaystyle f_a\left(3a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^2}\cdot\left(3a\right)^3-\frac{3}{a}\cdot\left(3a\right)^2-9\cdot3a+5\left(a+1\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle 27a-27a-27a+5a+5$
	↓	Fasse die Terme mit a zusammen.
	$=$	$\displaystyle -22a+5$
	↓	Gib das Maximum explizit an.

Das Maximum hat die Koordinaten: $\left(3\mathrm a\;\left|\;-22\mathrm a+5\right.\right)$

2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen

Das Maximum hat die $x$ -Koordinate $3a$ und die $y$ -Koordinate $-22a+5$ . Beide Koordinaten enthalten den Parameter $a$ . Für die Ortskurve der Maxima muss der Parameter $a$ aus beiden Koordinaten entfernt werden.

Löse die Gleichung für den $x$ -Wert der Maxima nach $a$ auf und setze den erhaltenen Wert in die Gleichung für die $y$ -Koordinate ein:

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3a$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -22\cdot a+5$
	↓	Setze $\frac{x}{3}$ für $a$ ein.
	$=$	$\displaystyle -22\cdot\frac{x}{3}+5$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\displaystyle -\frac{22}{3}x+5$

$\Rightarrow$ Die Maxima liegen alle auf einer Geraden

Sie hat die Gleichung $\mathrm y=-\frac{22}{3}\mathrm x+5$

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