Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Wie gut kennst du dich mit Funktionenscharen aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben!

Gegeben sind die Funktionenschar ${\mathrm f}_\mathrm k$ mit ${\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=2\mathrm{kx}+3$ mit dem Parameter $\mathrm k\in\mathbb{R}$ und die Parabel $\mathrm p$ mit $\mathrm p(\mathrm x)=\mathrm x^2-2\mathrm x+5$ .

Welche der Geraden ${\mathrm f}_\mathrm k$ ist parallel zur Tangente an $\mathrm p$ im Punkt $\mathrm Q\left(\left.2\;\right|\;5\right)$ ?

Gegeben ist die Funktionenschar ${\mathrm f}_\mathrm a$ mit ${\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac1{\mathrm a^2}\mathrm x^3-\frac3{\mathrm a}\mathrm x^2-9\mathrm x+5\left(\mathrm a+1\right)$ mit dem negativen Parameter $\mathrm a$ .

Untersuche die Lage des Maximums.
Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.

Gegeben ist die Funktionenschar ${\mathrm f}_\mathrm k$ mit $\displaystyle{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}$ .

Das Schaubild zeigt den Graphen für $\mathrm k=3$ .

Plot der Funktion für k=3 aus der Kurvenschar

Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter $k$ .

Überzeuge dich davon, dass sich für $\mathrm k=3$ die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt

${\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}$

Bestimme die Ableitung.

$\displaystyle f_k'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^2\cdot\mathrm{k}-\left(\mathrm{kx}-2\right)\cdot2\mathrm{x}}{\mathrm{x}^4}$
	↓	Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{xk}-2\left(\mathrm{kx}-2\right)}{\mathrm{x}^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4-\mathrm{kx}}{\mathrm{x}^3}$

Bestimme die 2. Ableitung $f_k''$ , indem du $f_k'$ ableitest.

$\displaystyle f_k''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\mathrm{x}^3\cdot\left(-\mathrm{k}\right)-\left(4-\mathrm{kx}\right)\cdot3\mathrm{x}^2}{\mathrm{x}^6}$
	↓	Kürze $\mathrm x^2$ , multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\mathrm{kx}-12}{\mathrm{x}^4}$

Setze die 2. Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.

$\displaystyle f_k''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \dfrac{2kx-12}{x^4}$	$=$	$\displaystyle 0$

$f''_k$ ist Null, wenn der Zähler der Funktion Null ist.

$\displaystyle 2kx-12$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 2kx$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle kx$	$=$	$\displaystyle 6$

Nun benötigst du eine Fallunterscheidung, weil du nicht ohne weiteres durch $k$ teilen kannst. $k$ könnte auch Null sein und dann darfst du nicht dadurch teilen.

1. Fall: Für $k=0$ lautet deine Gleichung am Ende $0\cdot x=6$ . Diese Gleichung ist für kein $x\in \mathbb{R}$ erfüllt. Also hat $f_0$ keine Wendestelle.

2. Fall: Wenn $k\neq 0$ ist, bekommst du nun $x=\frac 6k$ als Ergebnis. $f_k$ hat also eine Wendestelle bei $x=\frac 6k$ .

Bestimme, wo die 2. Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist, um das Krümmungsverhalten zu ermitteln.

Wenn $k > 0$ ist:

$\mathrm x<\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{''}(\mathrm x)<0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)\;$ rechtsgekrümmt in $\rbrack-\infty;\;\frac6{\mathrm k}\lbrack$

$\mathrm x>\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{''}(\mathrm x)>0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)$ linksgekrümmt in $\rbrack\frac6{\mathrm k};+\infty\lbrack$

Wenn $k<0$ ist:

$\mathrm x<\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{''}(\mathrm x)>0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)$ linksgekrümmt in $\rbrack-\infty; \frac6{\mathrm k}\lbrack$

$\mathrm x>\frac6{\mathrm k}\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm f_\mathrm k^{``}(\mathrm x)<0$

$\Rightarrow\;\mathrm f(\mathrm x)$ rechtsgekrümmt in $\rbrack\frac6{\mathrm k};+\infty\lbrack$

Krümmungsverhalten zusammenfassend

	Anzahl der Wendestellen	rechtsgekrümmt in	linksgekrümmt in
k=0	keine
k>0	eine bei $x=\frac 6k$	$]-\infty;\;\frac6k[$	$]\frac6{\mathrm k};+\infty[$
k<0	eine bei $x=\frac 6k$	$]\frac6{\mathrm k};+\infty[$	$]-\infty;\;\frac6{\mathrm k}[$

Überprüfung der Lösung für k=3

Überprüfe, ob der Wendepunkt für $\mathrm k=3$ übereinstimmt.

$\mathrm k=3\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm x=\frac63=2\;$

Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt

${\mathrm f}_3(2)=\frac{3\cdot2-2}{2^2}=\frac44=1$

Gib den Wendepunkt an und überprüfe, ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt

Für $\mathrm k=3$ ist der Wendepunkt $\left(2\;\left|\;1\right.\right)$

$\Rightarrow$ Stimmt mit Bild überein

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$f_a(x)=-\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})$ mit $a \in\mathbb R\backslash\{0;8\}$

Bestimme den Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche zwischen $G_{f_a}$ und der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden

Nullstellen berechnen

Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $f_a(x)=-\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})$ ein.
$\displaystyle -\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})$	$=$	$\displaystyle 0\$	$\displaystyle :\left(-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\right)$
	↓	Es wird durch alles, dass kein $x$ enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
$\displaystyle x^2-ax$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x$ wird ausgeklammert.
$\displaystyle x\left(x-a\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.

$x_1=0,\;x_2=a$

Integral aufstellen

Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen $G_{fa}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche $A(a)$ zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von $f_a$ .

$\displaystyle A\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\int_0^a-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left(x^2-ax\right)\mathrm{dx}\right\|$
	↓	Der Term $-\frac4{a^2}\left(8-a\right)$ wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von $x$ ab.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\int_0^a\left(x^2-ax\right)\mathrm{dx}\right\|$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion von $(x^2-ax)$ , um das Integral zu berechnen.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left[\frac{1}{3}x^3-a\frac{1}{2}x^2\right]_0^a\right\|$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die obere Grenze $(a)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(0)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left[\left(\frac{1}{3}a^3-a\frac{1}{2}a^2\right)-\left(\frac{1}{3}0^3-a\frac{1}{2}0^2\right)\right]\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left(\frac{1}{3}a^3-\frac{1}{2}a^3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left(-\frac{1}{6}a^3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{4}{6a^2}\left(8a^3-a^4\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{2}{3}\left(8a-a^2\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{2}{3}\left(8a-a^2\right)\right\|$
	↓	Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a\right\|$

Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere $-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a$ positiv ist und wann negativ.

$-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a\ =-\frac{2}{3}\left(a^2-8a\right)=\ -\frac{2}{3}\cdot a\ \cdot \left(a-8\right)$

Der Term $-\frac{2}{3}\cdot a\ \cdot \left(a-8\right)$ wäre Null für $a=0$ und $a=8$ . Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:

$a<0$
$0<a<8$ und
$a>8$

In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann $-\frac{2}{3}\cdot a\cdot\left(a-8\right)$ positiv ist und wann negativ:

	$a<0$	$0<a<8$	$a>8$
$-\frac 23$	$-$	$-$	$-$
$a$	$-$	$+$	$+$
$a-8$	$-$	$-$	$+$

$-\frac 23\cdot a \cdot (8-a)$	$-$	$+$	$-$

$\Rightarrow \ -\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}\ >0$ für $0<a<8$ und sonst ist $-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}\ <0$

Antwort: $A(a) = \begin{cases} -\frac 23a^2+\frac{16}{3}a & 0<a<8 \\ \frac 23a^2-\frac{16}{3}a & \, \text{sonst} \end{cases}$

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Für welche $a$ ist der Inhalt der Fläche $A(a)$ gleich 8?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Gesucht sind die Werte für $a$ mit $A(a)=8$ . Hierfür nutzt du die ermittelte Funktion $A(a)$ und machst eine Fallunterscheidung.

1. Fall: $0<a<8$ $\;\;\Rightarrow A(a)=-\frac 23a^2+\frac{16}{3}a$

Die zuvor ermittelte Funktion ( $A_1\left(a\right)$ ) wird gleich dem gesuchten Wert gesetzt, um $a$ zu bestimmen.

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle A\left(a\right)$
	↓	Setze $A_1=-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a$ ein.
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a-8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2-4\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-8\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{256}{9}-\frac{64}{3}}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}}}{-\frac{4}{3}}$
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\frac{8}{3}}{-\frac{4}{3}}$
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(-\frac{16}{3}\pm\frac{8}{3}\right)$
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 4\mp2$

Also ist $A(2)$ und $A(6)$ gleich $8$ .

2. Fall: $a<0$ $\;\;\Rightarrow A(a)=\frac 23a^2-\frac{16}{3}a$

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle A\left(a\right)$
	↓	Setze $A_2=\frac{2}{3}a^2-\frac{16}{3}a$ ein.
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}a^2-\frac{16}{3}a$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}a^2-\frac{16}{3}a-8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{16}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2-4\left(\frac{2}{3}\right)\left(-8\right)}}{2\left(\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{256}{9}+\frac{64}{3}}}{2\left(\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{448}{9}}}{\frac{4}{3}}$
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{16}{3}\pm\frac{8\sqrt{7}}{3}\right)$
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle 4\pm2\sqrt{7}$

Also ist $A(4-2\sqrt{7})$ und $A(4+2\sqrt{7})$ gleich $8$ .

Antwort: Für $a=2$ , $a=6$ , $a=4-2\sqrt{7}\approx -1{,}29$ und $a=4+2\sqrt{7}\approx 9{,}29$ ist der Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche zwischen $G_{f_a}$ und der x-Achse gleich $8$ .

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Bestimme für $0<a<8$ den Flächeninhalt $A(a)$ so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

$F_4(x)=\int _4^xf_4(t)\mathrm{dt}$ Bestimme den Term $F_4(x)$ und alle Nullstellen von $F_4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral

Stelle $f_4\left(t\right)$ auf, indem du $4$ für $a$ in den Funktionsterm $f_a\left(t\right)$ einsetzen.

$\displaystyle f_4\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \int_4^xf_4(t)\mathrm{dt}$
	$=$	$\displaystyle \int_4^x\left(-t^2+4t\right)\mathrm{dt}$
	↓	Integriere.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}t^3+\frac{4}{2}t^2\right]_4^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ die obere Grenze $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(4)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2\right]-\left[-\frac{1}{3}4^3+\frac{4}{2}4^2\right]$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2+\frac{64}{3}-32$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$

Bestimme nun die Nullstellen von $F_4(x)$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle F_4(x).$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$	$\displaystyle \cdot\left(-3\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3-6x^2+32$

Die erste Nullstelle muss erraten werden.

Durch Ausprobieren ermittelt man zum Beispiel $x_1=-2$

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3-6x^2\;+0x\;+32):(x+2)=x^2-8x+16\\\underline{-(x^3+2x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-8x^2+0x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-8x^2-16x)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;16x+32\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(16x+32)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die vereinfachte Funktion kannst du jetzt gleich $0$ setzen, um die beiden anderen Nullstellen von $F_4(x)$ zu ermitteln. Die Mitternachtsformel (oder die p-q-Formel) lässt sich anwenden.

Alternativ kann man erkennen, dass es sich bei der vereinfachten Funktion um die zweite binomische Formel handelt und dementsprechend auf das Ergebnis kommen.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-8x+16$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{\left(8\right)^2-4\cdot\left(1\right)\cdot\left(16\right)}}{2\cdot\left(1\right)}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{(64-64)}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 4$

Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-8x+16$
	↓	Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x-4\right)^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle 0$	$=$		$\displaystyle +4$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x-4$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 4$

Die Funktion $F_4(x)$ hat demnach eine Nullstelle bei $x_1=-2$

und eine doppelte Nullstelle bei $x_{2{,}3}=4$ .

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Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von $G_{F_4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Leite $F_4(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$ zweimal ab.

$F_4'(x)=-x^2+4x$

$F_4''(x)=-2x+4$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema von $F_4(x)$ .

$\displaystyle F_4'\left(x\right)_{ }$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $F_4'(x)=-x^2+4x$ ein.
$\displaystyle -x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $-x$ aus.
$\displaystyle -x\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( $-x\cdot\left(x-4\right)$ ) Null ist.

$-x=0$ für $x=0$

$x-4=0$ für $x=4$

${\mathrm{x}}_1=0,\;{\mathrm{x}}_2=4$

Extremum für $x=0$

Setze die gefundene Nullstelle $x=0$ der Ableitung von $F_4(x)$ in $F_4(x)$ ein.

$F_4(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$

$F_4(0)=-\frac{1}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2-\frac{32}{3}=-\frac{32}{3}$

Setze jetzt $x=0$ in $F_4''(x)=-2x+4$ ein.

$F_4''(0)=-2\cdot 0+4=4$

Da $F_4''(0)>0$ ist, hat $F_4(x)$ an der Stelle ${\mathrm{x}}_1=0$ einen Tiefpunkt $\mathrm{TP}\left(0|-\frac{32}{3}\right)$ .

Extremum für $x=4$

Setze die gefundene Nullstelle $x=4$ der Ableitung von $F_4(x)$ in $F_4(x)$ ein.

$F_4(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$

$F_4(4)=-\frac{1}{3}\cdot 4^3+2\cdot 4^2-\frac{32}{3}=0$

Setze jetzt $x=4$ in $F_4''(x)=-2x+4$ ein.

$F_4''(4)=-2\cdot 4+4=-4$

Da $F_4''(4)<0$ ist, hat $F_4(x)$ an der Stelle ${\mathrm{x}}_2=4$ einen Hochpunkt $\mathrm{HP}\left(4|0\right)$

Wendepunkt bestimmen

Bestimme nun den Wendepunkt.

Setze dafür die zweite Ableitung $F_4''(x)=-2x+4$ gleich $0$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle F_4''\left(x\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -2x+4$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze $x=2$ in $F_4(x)$ ein.

$F_4(2)=-\frac{1}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2-\frac{32}{3}=-\frac{16}{3}$

Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes $WP\left(2|-\frac{16}{3}\right)$ .

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Skizziere $G_{f_4}$ und $G_{F_4}$ im selben Koordinatensystem.

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Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter $\mathrm a\in\mathbb{R}$ durch $f_a(x)=\frac{-2x^2+50}{x^2+a}$

Untersuche ${\mathrm f}_\mathrm a$ auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt ${\mathrm Y}_\mathrm a$ mit der y-Achse an

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Finde Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner Null wird.
$\mathrm{x}^2+\mathrm{a}=0$ $\left|-\mathrm a\right.$
$\mathrm{x}^2=-\mathrm{a}$
Mache eine Fallunterscheidung für a.
$\mathrm{a}>0$ : Gleichung nie erfüllt
Bestimme den Definitionsbereich.
$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_{{\mathrm f}_\mathrm a}=\mathbb{R}$
$\mathrm{a}\le0:$ $\mathrm{x}=\pm\sqrt{-\mathrm{a}}$
Bestimme den Definitionsbereich.
$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_{{\mathrm f}_\mathrm a}=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{\pm\sqrt{-\mathrm a}\right\}$
Nullstellen bestimmen
$-2\mathrm{x}^2+50=0 \left|-50\right.$
$-2\mathrm{x}^2=-50$ $\left|:\left(-2\right)\right.$
$\mathrm{x}^2=25$ $\left|\sqrt{}\right.$
$\mathrm{x}=\pm5$
Gib die beiden Nullstellen an.
$\Rightarrow\;\;{\mathrm x}_1=-5\;\;,\;\;{\mathrm x}_2=5$
Y-Achsenabschnitt bestimmen
Setze $0$ in die Funktion ein
$\mathrm{f}_{\mathrm{a}}(0)=\frac{-2\cdot \left(0\right)^2+50}{\left(0\right)^2+\mathrm{a}}=\frac{50}{\mathrm{a}}$
Gib den Schnittpunkt an.
$\Rightarrow\;\;{\mathrm Y}_\mathrm a\left(\left.0\;\right|\;\frac{50}{\mathrm a}\right)$
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Berechne $\lim_{\mathrm{x}\rightarrow\sqrt{-\mathrm{a}}\pm0}\mathrm{f}(\mathrm{x})$ , sofern $\mathrm a\leq0$

Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für $\mathrm a=-25,\;\mathrm a=-16$ und $\mathrm a=25$ an.

$\mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2+\mathrm{a}}$
Setze die geforderten Werte für a ein und bestimme so die 3 Funktionsterme
$\mathrm{f}_{-25}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2-25}\frac{-2\left(\mathrm{x}^2-25\right)}{\left(\mathrm{x}^2-25\right)}-2$
Beachte hier aber die Definitionslücken beim Einzeichnen!
$\mathrm{f}_{-16}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2-16}$
$\mathrm{f}_{25}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2+25}$
Skizze:
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6
Für jedes $a\in \mathbb R\backslash\{0\}$ ist die Funktionenschar gegeben durch $f_a(x)=x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}$ .
Der Graph der Funktion ist $K_a$ .
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$ an.
1. Wo schneiden die Scharkurven die $y$ -Achse?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Die $y$ -Achse wird für $x=0$ geschnitten.
  Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:
  $f_a(0)=0\cdot e^{a\cdot 0}+\frac{3}{a}=0\cdot 1+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}$
  Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der $y$ -Achse hat die Koordinaten $S_y\left(0\Big\vert\frac{3}{a}\right)$ .
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2. Untersuche $K_a$ auf Hoch- und Tiefpunkte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_a'(x)=0$
  Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel:
  $f_a'(x)=1\cdot e^{ax}+x\cdot e^{ax}\cdot a=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}$
  Setze $f_a'(x)=0$
  $\;\Rightarrow\;0=\underbrace{(1+a\cdot x)}_{=0}\cdot \underbrace{e^{a\cdot x}}_{\text{immer}\;> 0}$
  Nur die Klammer kann null werden:
  $0=1+a\cdot x\;\Rightarrow\;x=-\frac{1}{a}$
  Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x=-\frac{1}{a}$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:
  Ist $f_a''(x)>0$ , dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
  Ist $f_a''(x)<0$ , dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
  Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Produktregel und die Kettenregel:
  $f_a'(x)=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}$
  $f_a''(x)=a\cdot e^{ax}+(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}\cdot a=(a^2\cdot x+2a)\cdot e^{ax}$
  Setze $x=-\frac{1}{a}$ in $f_a''(x)=(a^2\cdot x+2a)\cdot e^{ax}$ ein:
  $f_a''\left(-\frac{1}{a}\right)=\left(a^2\cdot (-\frac{1}{a})+2a\right)\cdot e^{a\cdot(-\frac{1}{a})}=(-a+2a)\cdot e^{-1}=a\cdot e^{-1}$
  Das Ergebnis ist vom Scharparameter $a$ abhängig, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.
  Fallunterscheidung
  Fall 1: $a>0$
  $f_a''(-\frac{1}{a})=a\cdot e^{-1}>0 \;\Rightarrow\;\text{TP}$
  Fall 2: $a<0$
  $f_a''(-\frac{1}{a})=a\cdot e^{-1}<0 \;\Rightarrow\;\text{HP}$
  Setze $x=-\frac{1}{a}$ in $f_a(x)$ ein, um die $y$ -Koordinate der Extrema zu berechnen.
  $f_a(-\frac{1}{a})=(-\frac{1}{a})\cdot e^{a\cdot(-\frac{1}{a})}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}-\frac{1}{a}\cdot e^{-1}=\frac{1}{a}\cdot(3-e^{-1})$
  Antwort: Für $a>0$ hat der Tiefpunkt die Koordinaten $TP\left(-\frac{1}{a}\Big\vert\frac{1}{a}\cdot(3-e^{-1})\right)$ und für $a<0$ hat der Hochpunkt die Koordinaten $HP\left(-\frac{1}{a}\Big\vert\frac{1}{a}\cdot(3-e^{-1})\right)$ .
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3. Bestimme das Verhalten der Funktion $f_a(x)$ für $x\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ und gib gegebenenfalls die Asymptote an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Betrachte zunächst $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}\right)$ . Wie verhält sich der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ , wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.
  Fallunterscheidung
  Fall 1: $a>0$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x\cdot e^{ax}}_{\rightarrow +\infty}+\frac{3}{a}=+\infty$
  Für $a>0$ wächst $e^{ax}$ für $x\rightarrow+\infty$ stärker als jede Potenz von $x$ . Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $+\infty$ .
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x\cdot e^{ax}}_{\rightarrow 0}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}$
  Für $a>0$ geht $e^{ax}$ für $x\rightarrow-\infty$ stärker gegen $0$ als $x\rightarrow-\infty$ . Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $0$ .
  Fall 2: $a<0$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x\cdot e^{ax}}_{\rightarrow 0}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}$
  Für $a<0$ geht $e^{ax}$ für $x\rightarrow+\infty$ stärker gegen $0$ als $x\rightarrow+\infty$ . Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $0$ .
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x\cdot e^{ax}}_{\rightarrow -\infty}+\frac{3}{a}=-\infty$
  Für $a<0$ wächst $e^{ax}$ für $x\rightarrow-\infty$ stärker als jede Potenz von $x$ . Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $-\infty$ .
  Alle Scharkurven haben eine waagrechte Asymptote $y_A=\frac{3}{a}$ .
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4. Skizziere für $a=-3$ und $a=1$ die Graphen von $K_{-3}$ und von $K_1$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Für $a=-3$ lautet $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$ und für $a=1$ ist $f_{1}=x\cdot e^{x}+3$ . Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y\left(0\Big\vert\frac{3}{a}\right)$ , der Extrempunkt $E\left(-\frac{1}{a}\Big\vert\frac{1}{a}\cdot(3-e^{-1})\right)$ und die waagrechte Asymptote $y_A=\frac{3}{a}$ . Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
  Tabelle für $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$ :
  x
  $f_{-3}(x)$
  besonderer Punkt
  -0,5
  -3,24
  0
  -1
  $S_y$
  0,33
  -0,88
  HP
  1
  -0,95
  3
  -1
  Die Funktion $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$ hat die waagrechte Asymptote $y_A=-1$ .
  Tabelle für $f_{1}=x\cdot e^{x}+3$ :
  x
  $f_{1}(x)$
  besonderer Punkt
  -3
  2,85
  -2
  2,73
  -1
  2,63
  TP
  0
  3
  $S_y$
  0,5
  3,82
  1
  5,72
  Die Funktion $f_{1}(x)=x\cdot e^{x}+3$ hat die waagrechte Asymptote $y_A=3$ .
  Die Graphen von $K_{-3}$ und von $K_1$ .
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5. Welche Scharkurve hat für $x=\frac{1}{2}$ ein Extremum?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Ein Extremum liegt vor, wenn $f_a'(x)=0$ ist.
  Im Aufgabenteil b) wurde $f_a'(x)$ berechnet: $f_a'(x)=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}$
  Setze den Wert $x=\frac{1}{2}$ in die $1.$ Ableitung ein:
  $f_a'\left(\frac{1}{2}\right)=e^{a\cdot\frac{1}{2}}\cdot(1+a\cdot\frac{1}{2})$
  Setze $f_a'\left(\frac{1}{2}\right)=0$
  $\;\Rightarrow\;0=\underbrace{e^{a\cdot\frac{1}{2}}}_{\text{immer}\;> 0}\cdot \underbrace{\left(1+a\cdot\frac{1}{2}\right)}_{=0}$
  Nur die Klammer kann null werden:
  $0=1+a\cdot\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;a=-2$
  Antwort: Für $a=-2$ hat die Scharfunktion $f_{-2}(x)=x\cdot e^{-2x}-\frac{3}{2}$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ ein Extremum.
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6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ortskurve
  Für die Ortskurve der Extrema benötigst du die Extrempunktkoordinaten.
  Das Extremum hat die Koordinaten $E\left(-\frac{1}{a}\Big\vert\frac{1}{a}\cdot(3-e^{-1})\right)$ .
  Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x=-\frac{1}{a}$ und $y=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})$ .
  Löse dann $x=-\frac{1}{a}$ nach $a$ auf $\;\Rightarrow\;a=-\frac{1}{x}$ .
  Setze $a=-\frac{1}{x}$ in $y=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})$ ein:
  $y=\dfrac{1}{-\frac{1}{x}}\cdot (3-e^{-1})=-x\cdot(3-e^{-1})=(e^{-1}-3)\cdot x$
  Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $y=(e^{-1}-3)\cdot x$ . Der Graph der Ortskurve ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m=e^{-1}-3\approx -2{,}63$ .
  Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Extrema dargestellt.
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x	$f_{-3}(x)$	besonderer Punkt
-0,5	-3,24
0	-1	$S_y$
0,33	-0,88	HP
1	-0,95
3	-1

x	$f_{1}(x)$	besonderer Punkt
-3	2,85
-2	2,73
-1	2,63	TP
0	3	$S_y$
0,5	3,82
1	5,72

Für jedes $a\in \mathbb R\backslash\{0\}$ ist die Funktionenschar gegeben durch $f_a(x)=x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}$ .

Der Graph der Funktion ist $K_a$ .

Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$ an.

Wo schneiden die Scharkurven die $y$ -Achse?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die $y$ -Achse wird für $x=0$ geschnitten.
Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:
$f_a(0)=0+a\cdot e^{-0}+\frac{1}{a}=a\cdot 1+\frac{1}{a}$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $S_y(0|a+\frac{1}{a})$ geschnitten.
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Welche Scharkurve schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0|5{,}2)$ ?

Untersuche $K_a$ auf Hoch- und Tiefpunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_a'(x)=0$

Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Kettenregel:

$f_a'(x)=1-a\cdot e^{-x}$

Setze $f_a'(x)=0:$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-a\cdot e^{-x}$	$\displaystyle +a\cdot e^{-x}$
$\displaystyle a\cdot e^{-x}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :a$
$\displaystyle e^{-x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{a}$	$\displaystyle \ln$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \ln\left(e^{-x}\right)$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -(\ln(1)-\ln(a))$
	↓	$\ln(1)=0$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln(a)$

Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x=\ln(a)$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:

Ist $f_a''(x)>0$ , dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.

Ist $f_a''(x)<0$ , dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.

Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Kettenregel:

$f_a'(x)=1-a\cdot e^{-x}$

$f_a''(x)=a\cdot e^{-x}$

Setze $x=\ln(a)$ in $f_a''(x)=a\cdot e^{-x}$ ein, um zu prüfen, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist:

$f_a''(\ln(a))=a\cdot e^{-\ln(a)} =a\cdot\frac{1}{a}=1>0$ . Damit handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Berechne den $y$ -Wert des Tiefpunktes, indem du $x=\ln(a)$ in $f_a(x)$ einsetzt:

$f_a(\ln(a))=\ln(a)+a\cdot e^{-\ln(a)}+\frac{1}{a}=\ln(a)+a\cdot\frac{1}{a} +\frac{1}{a}=\ln(a)+1+\frac{1}{a}$ .

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(\ln(a)|\ln(a)+1+\frac{1}{a})$ .

Es gibt nur für $a>0$ Tiefpunkte, da der $\ln(a)$ nur für $a>0$ definiert ist.

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Welche Scharkurve hat für $x=0$ die Steigung $\dfrac{1}{3}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die Steigung für $x=0$ soll $\dfrac{1}{3}$ sein.
Setze $x=0$ in $f_a'(x)=1-a\cdot e^{-x}$ ein:
$f_a'(0)=1-a\cdot e^{-0}=1-a$
Setze $f_a'(0)=\dfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;$ $1-a=\dfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{2}{3}$
Antwort: Die Scharkurve $K_{\frac{2}{3}}$ hat bei $x=0$ die Steigung $\dfrac{1}{3}$ .
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Bestimme das Verhalten der Funktion $f_a(x)$ für $x\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow \infty$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Betrachte zunächst $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)$ . Wie verhält sich der Ausdruck $a\cdot e^{-x}$ , wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1: $a>0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow 0}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\frac{1}{a}\right)$
$\;\Rightarrow\;y_{Asymptote}=x+\frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote (im Weiteren abgekürzt mit $y_A$ )
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow +\infty}+\frac{1}{a}\right)=+\infty$
Fall 2: $a<0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow 0}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\frac{1}{a}\right)$
$\;\Rightarrow\;y_A=x+\frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow -\infty}+\frac{1}{a}\right)=-\infty$
Alle Scharkurven haben bei $+\infty$ eine schiefe Asymptote $y_A=x+\frac{1}{a}$ .
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Skizziere für $a=-1$ und $a=1$ die Graphen von $K_{-1}$ und von $K_1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Für $a=-1$ lautet $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$ und für $a=1$ ist $f_{1}=x+ e^{-x}+1$ .
Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|a+\frac{1}{a})$ , der Tiefpunkt $TP(\ln(a)|\ln(a)+1+\frac{1}{a})$ und die schiefe Asymptote $y_A=x+\frac{1}{a}$ .
Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
Tabelle für $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$
x
$f_{-1}(x)$
besonderer Punkt
-1
-4,72
-0,5
-3,15
0
-2
$S_y$
0,5
-1,11
1
-0,37
2
0,86
3
1,95
4
2,98
Die Funktion $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$ hat die schiefe Asymptote $y_A=x-1$ .
Tabelle für $f_{1}=x+ e^{-x}+1$
x
$f_{1}(x)$
besonderer Punkt
-2
6,39
-1
2,72
0
2
$S_y$ und TP
0,5
2,11
1
2,37
2
3,14
3
4,04
4
5,02
Die Funktion $f_{1}=x+ e^{-x}+1$ hat die schiefe Asymptote $y_A=x+1$ .
Graphen von $K_{-1}$ und von $K_1$ .
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Auf welcher Ortskurve $g(x)$ liegen die Extrema?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ortskurve
Für die Ortskurve der Tiefpunkte benötigst du die Tiefpunktkoordinaten:
$TP(\ln(a)|\ln(a)+1+\frac{1}{a})$ .
Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x=\ln(a)$ und $y=\ln(a)+1+\frac{1}{a}$ .
Löse dann $x=\ln(a)$ nach $a$ auf $\;\Rightarrow\;a=e^{x}$ .
Setze $a=e^{x}$ in $y=\ln(a)+1+\frac{1}{a}$ ein:
$y=\ln(e^{x})+1+\frac{1}{e^{x}}=x+1+e^{-x}$
Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $g(x)=x+1+e^{-x}$ .
Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Tiefpunkte dargestellt.
Anmerkung: Die Scharkurve $K_1$ und die Ortskurve sind identisch.
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x	$f_{-1}(x)$	besonderer Punkt
-1	-4,72
-0,5	-3,15
0	-2	$S_y$
0,5	-1,11
1	-0,37
2	0,86
3	1,95
4	2,98

x	$f_{1}(x)$	besonderer Punkt
-2	6,39
-1	2,72
0	2	$S_y$ und TP
0,5	2,11
1	2,37
2	3,14
3	4,04
4	5,02

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle p´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x-2$
	↓	Bestimme die Steigung am Punkt $\left(2\;\left\|\;5\right.\right)$
$\displaystyle p´\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle 4-2$
	↓	Was heißt das für die Tangente?
$\displaystyle p´\left(2\right)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Tangente hat die Steigung 2

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3a$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -22\cdot a+5$
	↓	Setze $\frac{x}{3}$ für $a$ ein.
	$=$	$\displaystyle -22\cdot\frac{x}{3}+5$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$\displaystyle -\frac{22}{3}x+5$

$\displaystyle A_1\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\cdot4^2+\frac{16}{3}\cdot4$
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\cdot16+\frac{16}{3}\cdot4$
	$=$	$\displaystyle -\frac{32}{3}+\frac{64}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{3}$
	$=$	$\displaystyle 10,\overline{6}$

$\displaystyle \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})$	$=$	$\displaystyle \frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2+\mathrm{a}}$
	↓	Faktorisiere die Funktion für $\mathrm a\leq0$
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\left(\mathrm{x}+5\right)\left(\mathrm{x}-5\right)}{\left(\mathrm{x}+\sqrt{-\mathrm{a}}\right)\left(\mathrm{x}-\sqrt{-\mathrm{a}}\right)}$

$\displaystyle \lim_{\mathrm{x}\rightarrow\sqrt{-\mathrm{a}}\pm0}\mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})$	$=$	$\displaystyle \lim_{\mathrm{x}\rightarrow\sqrt{-\mathrm{a}}\pm0}\frac{-2\left(\mathrm{x}+5\right)\left(\mathrm{x}-5\right)}{\left(\mathrm{x}+\sqrt{-\mathrm{a}}\right)\left(\mathrm{x}-\sqrt{-\mathrm{a}}\right)}$
	↓	Setze die Grenze ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2\left(\sqrt{-\mathrm a}+5\right)\left(\sqrt{-\mathrm a}-5\right)}{\left(\sqrt{-\mathrm a}+\sqrt{-\mathrm a}\right)\underbrace{\left(\sqrt{-\mathrm a}-\sqrt{-\mathrm a}\right)}_{{}_{-0\;\Rightarrow0}}}$

$\displaystyle f´_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2k$
	↓	Diese Steigung soll gleich der der Tangente sein. Setze sie also gleich.
$\displaystyle 2k$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Gib die Gerade explizit an.

$\displaystyle f´_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^2}\cdot3x^2-\frac{3}{a}\cdot2x-9$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{a^2}x^2-\frac{6}{a}x-9$
	↓	Setze die 1.Ableitung gleich Null, um Extremstellen zu bestimmen.
$\displaystyle \frac{3}{a^2}x^2-\frac{6}{a}x-9$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
	$=$

	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6}{a}\pm\frac{12}{a}\right)\cdot\frac{a^2}{6}$
	↓	Berechne die beiden Lösungen.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3a$
	↓	Berechne den y-Wert zu diesem x-Wert, indem du $x=3a$ in ${\mathrm f}_\mathrm a$ einsetzt.
$\displaystyle f_a\left(3a\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^2}\cdot\left(3a\right)^3-\frac{3}{a}\cdot\left(3a\right)^2-9\cdot3a+5\left(a+1\right)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle 27a-27a-27a+5a+5$
	↓	Fasse die Terme mit a zusammen.
	$=$	$\displaystyle -22a+5$
	↓	Gib das Maximum explizit an.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle A_1'\left(a\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{3}a+\frac{16}{3}$	$\displaystyle +\frac{4}{3}a$
$\displaystyle \frac{4}{3}a$	$=$	$\displaystyle \frac{16}{3}$	$\displaystyle :\frac{4}{3}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle 5{,}2$	$=$	$\displaystyle a+\frac{1}{a}$	$\displaystyle \cdot a$
$\displaystyle 5{,}2a$	$=$	$\displaystyle a^2+1$	$\displaystyle -5{,}2a$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a^2-5{,}2a+1$
	↓	Löse mit der pq-Formel.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-5{,}2$ und $q=1$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-5{,}2)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-5{,}2}{2}\right)^2-1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 2{,}6\pm\sqrt{2{,}6^2-1}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}6\pm\sqrt{5{,}76}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}6\pm2{,}4$
$\displaystyle a_1$	$=$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle a_2$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Graphische Darstellung

2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen

Krümmungsverhalten zusammenfassend

Überprüfung der Lösung für k=3

Nullstellen berechnen

Integral aufstellen

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Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

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Extrema bestimmen

Extremum für x=0x=0x=0

Extremum für x=4x=4x=4

Wendepunkt bestimmen

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Nullstellen bestimmen

Y-Achsenabschnitt bestimmen

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Skizze:

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Fallunterscheidung

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Fallunterscheidung

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Tabelle für f−3(x)=x⋅e−3x−1f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1f−3​(x)=x⋅e−3x−1:

Tabelle für f1=x⋅ex+3f_{1}=x\cdot e^{x}+3f1​=x⋅ex+3:

Die Graphen von K−3K_{-3}K−3​ und von K1K_1K1​.

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Fallunterscheidung

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Tabelle für f−1(x)=x−e−x−1f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1f−1​(x)=x−e−x−1

Tabelle für f1=x+e−x+1f_{1}=x+ e^{-x}+1f1​=x+e−x+1

Graphen von K−1K_{-1}K−1​ und von K1K_1K1​.

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Extremum für $x=0$

Extremum für $x=4$

Tabelle für $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$ :

Tabelle für $f_{1}=x\cdot e^{x}+3$ :

Die Graphen von $K_{-3}$ und von $K_1$ .

Tabelle für $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$

Tabelle für $f_{1}=x+ e^{-x}+1$

Graphen von $K_{-1}$ und von $K_1$ .