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Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Wie gut kennst du dich mit Funktionenscharen aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben!

  1. 1

    Gegeben sind die Funktionenschar fk{\mathrm f}_\mathrm k mit  fk(x)=2kx+3{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=2\mathrm{kx}+3 mit dem Parameter kR\mathrm k\in\mathbb{R} und die Parabel  p\mathrm p mit p(x)=x22x+5\mathrm p(\mathrm x)=\mathrm x^2-2\mathrm x+5 .

    Welche der Geraden  fk{\mathrm f}_\mathrm k ist parallel zur Tangente an  p\mathrm p im Punkt Q(2    5)\mathrm Q\left(\left.2\;\right|\;5\right) ?

  2. 2

    Gegeben ist die Funktionenschar fa{\mathrm f}_\mathrm a mit  fa(x)=1a2x33ax29x+5(a+1){\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac1{\mathrm a^2}\mathrm x^3-\frac3{\mathrm a}\mathrm x^2-9\mathrm x+5\left(\mathrm a+1\right) mit dem negativen Parameter a\mathrm a.

    1. Untersuche die Lage des Maximums.

    2. Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.

  3. 3

    Gegeben ist die Funktionenschar fk{\mathrm f}_\mathrm k mit  fk(x)=kx2x2\displaystyle{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}.

    Das Schaubild zeigt den Graphen für k=3\mathrm k=3.

    Plot der Funktion für k=3 aus der Kurvenschar

    Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter kk.

    Überzeuge dich davon, dass sich für k=3\mathrm k=3 die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

  4. 4

    fa(x)=4a2(8a)(x2ax)f_a(x)=-\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax}) mit aR\{0;8}a \in\mathbb R\backslash\{0;8\}

    1. Bestimme den Flächeninhalt A(a)A(a) der Fläche zwischen GfaG_{f_a} und der x-Achse.

    2. Für welche aa ist der Inhalt der Fläche A(a) A(a) gleich 8?

    3. Bestimme für 0<a<80<a<8 den Flächeninhalt A(a)A(a) so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

    4. F4(x)=4xf4(t)dtF_4(x)=\int _4^xf_4(t)\mathrm{dt} Bestimme den Term F4(x)F_4(x) und alle Nullstellen von  F4F_4

    5. Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von GF4G_{F_4} .

    6. Skizziere Gf4G_{f_4} und GF4G_{F_4} im selben Koordinatensystem.

  5. 5

    Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter aR\mathrm a\in\mathbb{R} durch fa(x)=2x2+50x2+af_a(x)=\frac{-2x^2+50}{x^2+a}

    1. Untersuche fa{\mathrm f}_\mathrm a auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt Ya{\mathrm Y}_\mathrm a mit der y-Achse an

    2. Berechne limxa±0f(x)\lim_{\mathrm{x}\rightarrow\sqrt{-\mathrm{a}}\pm0}\mathrm{f}(\mathrm{x}) , sofern a0\mathrm a\leq0

    3. Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für  a=25,  a=16\mathrm a=-25,\;\mathrm a=-16   und  a=25\mathrm a=25 an.

  6. 6

    Für jedes aR\{0}a\in \mathbb R\backslash\{0\} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=xeax+3af_a(x)=x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}.

    Der Graph der Funktion ist KaK_a.

    Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter aa an.

    1. Wo schneiden die Scharkurven die yy-Achse?

    2. Untersuche KaK_a auf Hoch- und Tiefpunkte.

    3. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x)f_a(x) für xx\rightarrow -\infty und für xx\rightarrow \infty und gib gegebenenfalls die Asymptote an.

    4. Skizziere für a=3a=-3 und a=1a=1 die Graphen von K3K_{-3} und von K1K_1.

    5. Welche Scharkurve hat für x=12x=\frac{1}{2} ein Extremum?

    6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?

  7. 7

    Für jedes aR\{0}a\in \mathbb R\backslash\{0\} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=x+aex+1af_a(x)=x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}.

    Der Graph der Funktion ist KaK_a.

    Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter aa an.

    1. Wo schneiden die Scharkurven die yy-Achse?

    2. Welche Scharkurve schneidet die yy-Achse im Punkt Sy(05,2)S_y(0|5{,}2)?

    3. Untersuche KaK_a auf Hoch- und Tiefpunkte.

    4. Welche Scharkurve hat für x=0x=0 die Steigung 13\dfrac{1}{3}?

    5. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x)f_a(x) für xx\rightarrow -\infty und für xx\rightarrow \infty.

    6. Skizziere für a=1a=-1 und a=1a=1 die Graphen von K1K_{-1} und von K1K_1.

    7. Auf welcher Ortskurve g(x)g(x) liegen die Extrema?


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