Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen
Wie gut kennst du dich mit Funktionenscharen aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben!
- 1
Gegeben sind die Funktionenschar fk mit fk(x)=2kx+3 mit dem Parameter k∈R und die Parabel p mit p(x)=x2−2x+5 .
Welche der Geraden fk ist parallel zur Tangente an p im Punkt Q(2∣5) ?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
Berechne die Steigung der Tangente, indem du die Steigung der Parabel an dem Punkt berechnest. Bilde dazu die 1. Ableitung der Parabel.
p´(x) = 2x−2 ↓ Bestimme die Steigung am Punkt (2∣5)
p´(2) = 4−2 ↓ Was heißt das für die Tangente?
p´(2) = 2 ↓ Tangente hat die Steigung 2
Parallele Gerade bestimmen
Damit die Gerade parallel zur Tangente ist, muss sie die gleiche Steigung haben.
Bestimme die Steigung der Geraden. Bilde dazu die 1. Ableitung der Geraden.
f´k(x) = 2k ↓ Diese Steigung soll gleich der der Tangente sein. Setze sie also gleich.
2k = 2 :2 k = 1 ↓ Gib die Gerade explizit an.
⇒f1(x)=2x+3 ist die gesuchte Gerade
Graphische Darstellung
Bewege den Schieberegler, bis die rote Gerade parallel zur (schwarzen) Tangente durch den Punkt Q ist. Lies den Wert für k und die Funktionsgleichung fab.
Vergleiche mit der rechnerischen Lösung.
- 2
Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x)=a21x3−a3x2−9x+5(a+1) mit dem negativen Parameter a.
Untersuche die Lage des Maximums.
Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximum einer Funktion bestimmen
1 Bilde die erste Ableitung.
f´a(x) = a21⋅3x2−a3⋅2x−9 = a23x2−a6x−9 ↓ Setze die 1.Ableitung gleich Null, um Extremstellen zu bestimmen.
a23x2−a6x−9 = 0 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
= x1,2=2⋅a23a6±a236−4⋅a23⋅(−9)
= (a6±a12)⋅6a2 ↓ Berechne die beiden Lösungen.
⇒x1=3a,x2=−a
Bestimme die Vorzeichen der 1. Ableitung zwischen den Extremstellen.
Beachte dabei, dass 3a "links" von -a liegt, da a nach Voraussetzung a negativ ist.
Zudem ist die Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit die Vorzeichenfolge +−+ hat.
⇒f′>0f′<0f′>0steigt3afa¨llt−asteigt
Es gibt also einen Vorzeichenwechsel bei x=3a von +→− d. h. bei x=3a liegt die Maximalstelle.
Maximalstelle:
x = 3a ↓ Berechne den y-Wert zu diesem x-Wert, indem du x=3a in fa einsetzt.
fa(3a) = a21⋅(3a)3−a3⋅(3a)2−9⋅3a+5(a+1) ↓ Multipliziere aus.
= 27a−27a−27a+5a+5 ↓ Fasse die Terme mit a zusammen.
= −22a+5 ↓ Gib das Maximum explizit an.
Das Maximum hat die Koordinaten: (3a∣−22a+5)
2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen
Das Maximum hat die x-Koordinate 3a und die y-Koordinate −22a+5. Beide Koordinaten enthalten den Parameter a. Für die Ortskurve der Maxima muss der Parameter a aus beiden Koordinaten entfernt werden.
Löse die Gleichung für den x-Wert der Maxima nach a auf und setze den erhaltenen Wert in die Gleichung für die y-Koordinate ein:
x = 3a :3 a = 3x y = −22⋅a+5 ↓ Setze 3x für a ein.
= −22⋅3x+5 ↓ Vereinfache den Term.
= −322x+5 ⇒ Die Maxima liegen alle auf einer Geraden
Sie hat die Gleichung y=−322x+5
- 3
Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk(x)=x2kx−2.
Das Schaubild zeigt den Graphen für k=3.
Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter k.
Überzeuge dich davon, dass sich für k=3 die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
fk(x)=x2kx−2
Bestimme die Ableitung.
fk′(x) = x4x2⋅k−(kx−2)⋅2x ↓ Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
= x3xk−2(kx−2) = x34−kx Bestimme die 2. Ableitung fk′′, indem du fk′ ableitest.
fk′′(x) = x6x3⋅(−k)−(4−kx)⋅3x2 ↓ Kürze x2, multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
= x42kx−12 Setze die 2. Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.
fk′′(x) = 0 x42kx−12 = 0 fk′′ ist Null, wenn der Zähler der Funktion Null ist.
2kx−12 = 0 +12 2kx = 12 :2 kx = 6 Nun benötigst du eine Fallunterscheidung, weil du nicht ohne weiteres durch k teilen kannst. k könnte auch Null sein und dann darfst du nicht dadurch teilen.
1. Fall: Für k=0 lautet deine Gleichung am Ende 0⋅x=6. Diese Gleichung ist für kein x∈R erfüllt. Also hat f0 keine Wendestelle.
2. Fall: Wenn k=0 ist, bekommst du nun x=k6 als Ergebnis. fk hat also eine Wendestelle bei x=k6.
Bestimme, wo die 2. Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist, um das Krümmungsverhalten zu ermitteln.
Wenn k>0 ist:
x<k6⇒fk′′(x)<0
⇒f(x) rechtsgekrümmt in ]−∞;k6[
x>k6⇒fk′′(x)>0
⇒f(x) linksgekrümmt in ]k6;+∞[
Wenn k<0 ist:
x<k6⇒fk′′(x)>0
⇒f(x) linksgekrümmt in ]−∞;k6[
x>k6⇒fk‘‘(x)<0
⇒f(x) rechtsgekrümmt in ]k6;+∞[
Krümmungsverhalten zusammenfassend
Anzahl der Wendestellen
rechtsgekrümmt in
linksgekrümmt in
k=0
keine
k>0
eine bei x=k6
]−∞;k6[
]k6;+∞[
k<0
eine bei x=k6
]k6;+∞[
]−∞;k6[
Überprüfung der Lösung für k=3
Überprüfe, ob der Wendepunkt für k=3 übereinstimmt.
k=3⇒x=36=2
Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt
f3(2)=223⋅2−2=44=1
Gib den Wendepunkt an und überprüfe, ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt
Für k=3 ist der Wendepunkt (2∣1)
⇒ Stimmt mit Bild überein
- 4
fa(x)=−a24(8−a)(x2−ax) mit a∈R\{0;8}
Bestimme den Flächeninhalt A(a) der Fläche zwischen Gfa und der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Nullstellen berechnen
Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.
fa(x) = 0 ↓ Setze fa(x)=−a24(8−a)(x2−ax) ein.
−a24(8−a)(x2−ax) = 0 :(−a24(8−a)) ↓ Es wird durch alles, dass kein x enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
x2−ax = 0 ↓ x wird ausgeklammert.
x(x−a) = 0 Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.
x1=0,x2=a
Integral aufstellen
Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen Gfa und der x-Achse eingeschlossene Fläche A(a) zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von fa.
A(a) = ∫0a−a24(8−a)(x2−ax)dx ↓ Der Term −a24(8−a) wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von x ab.
= −a24(8−a)∫0a(x2−ax)dx ↓ Bestimme eine Stammfunktion von (x2−ax), um das Integral zu berechnen.
= −a24(8−a)[31x3−a21x2]0a ↓ In die Klammer wird für x die obere Grenze (a) eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze (0) gerechnet.
= −a24(8−a)[(31a3−a21a2)−(3103−a2102)] = −a24(8−a)(31a3−21a3) = −a24(8−a)(−61a3) = 6a24(8a3−a4) = 32(8a−a2) = 32(8a−a2) ↓ Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
= −32a2+316a Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere −32a2+316a positiv ist und wann negativ.
−32a2+316a =−32(a2−8a)= −32⋅a ⋅(a−8)
Der Term −32⋅a ⋅(a−8) wäre Null für a=0 und a=8. Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:
a<0
0<a<8 und
a>8
In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann −32⋅a⋅(a−8) positiv ist und wann negativ:
a<0
0<a<8
a>8
−32
−
−
−
a
−
+
+
a−8
−
−
+
−32⋅a⋅(8−a)
−
+
−
⇒ −32a2+316 >0 für 0<a<8 und sonst ist −32a2+316 <0
Antwort: A(a)={−32a2+316a32a2−316a0<a<8sonst
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für welche a ist der Inhalt der Fläche A(a) gleich 8?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Gesucht sind die Werte für a mit A(a)=8. Hierfür nutzt du die ermittelte Funktion A(a) und machst eine Fallunterscheidung.
1. Fall: 0<a<8 ⇒A(a)=−32a2+316a
Die zuvor ermittelte Funktion ( A1(a) ) wird gleich dem gesuchten Wert gesetzt, um a zu bestimmen.
8 = A(a) ↓ Setze A1=−32a2+316a ein.
8 = −32a2+316a −8 0 = −32a2+316a−8 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
a1,2 = 2(−32)−316±(316)2−4(−32)(−8) ↓ Multipliziere unter der Wurzel aus.
a1,2 = 2(−32)−316±9256−364 ↓ Fasse zusammen.
a1,2 = −34−316±964 a1,2 = −34−316±38 a1,2 = −43(−316±38) a1,2 = 4∓2 Also ist A(2) und A(6) gleich 8.
2. Fall: a<0 ⇒A(a)=32a2−316a
8 = A(a) ↓ Setze A2=32a2−316a ein.
8 = 32a2−316a −8 0 = 32a2−316a−8 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
a3,4 = 2(32)316±(316)2−4(32)(−8) ↓ Multipliziere unter der Wurzel aus.
a3,4 = 2(32)316±9256+364 ↓ Fasse zusammen.
a3,4 = 34316±9448 a3,4 = 43(316±387) a3,4 = 4±27 Also ist A(4−27) und A(4+27) gleich 8.
Antwort: Für a=2, a=6, a=4−27≈−1,29 und a=4+27≈9,29 ist der Flächeninhalt A(a) der Fläche zwischen Gfa und der x-Achse gleich 8.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme für 0<a<8 den Flächeninhalt A(a) so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximum
Der Maximalwert der Fläche ist das gleiche, wie das Maximum der Funktion .
Um dieses zu bestimmen, muss A1(a) ( A1=−32a2+316a ) abgeleitet werden.
A1′(a)=−34a+316
Der Graph von A1(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel, d.h. es gibt nur ein Maximum. Das gesuchte Maximum ist die Nullstelle der Ableitung, demnach wird dadA gleich 0 gesetzt.
0 = A1′(a) 0 = −34a+316 +34a 34a = 316 :34 a = 4 Die Bedingung in der Aufgabenstellung 0<a<8 ist für a=4 erfüllt.
Die Stelle, an der A1(a) den größten Wert hat ist bekannt, wie hoch dieser ist wird ermittelt, indem das berechnete a in A1(a) eingesetzt wird.
A1(4) = −32⋅42+316⋅4 = −32⋅16+316⋅4 = −332+364 = 332 = 10,6 Antwort: Der maximale Flächeninhalt beträgt 332FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
F4(x)=∫4xf4(t)dt Bestimme den Term F4(x) und alle Nullstellen von F4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Stelle f4(t) auf, indem du 4 für a in den Funktionsterm fa(t) einsetzen.
Bestimme nun die Nullstellen von F4(x).
0 = F4(x). 0 = −31x3+2x2−332 ⋅(−3) 0 = x3−6x2+32 Die erste Nullstelle muss erraten werden.
Durch Ausprobieren ermittelt man zum Beispiel x1=−2
Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.
(x3−6x2+0x+32):(x+2)=x2−8x+16−(x3+2x2)−8x2+0x−(−8x2−16x)16x+32−(16x+32)0
Die vereinfachte Funktion kannst du jetzt gleich 0 setzen, um die beiden anderen Nullstellen von F4(x) zu ermitteln. Die Mitternachtsformel (oder die p-q-Formel) lässt sich anwenden.
Alternativ kann man erkennen, dass es sich bei der vereinfachten Funktion um die zweite binomische Formel handelt und dementsprechend auf das Ergebnis kommen.
0 = x2−8x+16 x2,3 = 2⋅(1)8±(8)2−4⋅(1)⋅(16) x2,3 = 28±(64−64) x2,3 = 28 x2,3 = 4 Alternativer Rechenweg für die Nullstelle
0 = x2−8x+16 ↓ Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
0 = (x−4)2 0 = +4 0 = x−4 4 = x x2,3 = 4 Die Funktion F4(x) hat demnach eine Nullstelle bei x1=−2
und eine doppelte Nullstelle bei x2,3=4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von GF4 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Leite F4(x)=−31x3+2x2−332 zweimal ab.
F4′(x)=−x2+4x
F4′′(x)=−2x+4
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema von F4(x).
F4′(x) = 0 ↓ Setze F4′(x)=−x2+4x ein.
−x2+4x = 0 ↓ Klammere −x aus.
−x(x−4) = 0 Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( −x⋅(x−4) ) Null ist.
−x=0 für x=0
x−4=0 für x=4
x1=0,x2=4
Extremum für x=0
Setze die gefundene Nullstelle x=0 der Ableitung von F4(x) in F4(x) ein.
F4(x)=−31x3+2x2−332
F4(0)=−31⋅03+2⋅02−332=−332
Setze jetzt x=0 in F4′′(x)=−2x+4 ein.
F4′′(0)=−2⋅0+4=4
Da F4′′(0)>0 ist, hat F4(x) an der Stelle x1=0 einen Tiefpunkt TP(0∣−332).
Extremum für x=4
Setze die gefundene Nullstelle x=4 der Ableitung von F4(x) in F4(x) ein.
F4(x)=−31x3+2x2−332
F4(4)=−31⋅43+2⋅42−332=0
Setze jetzt x=4 in F4′′(x)=−2x+4 ein.
F4′′(4)=−2⋅4+4=−4
Da F4′′(4)<0 ist, hat F4(x) an der Stelle x2=4 einen Hochpunkt HP(4∣0)
Wendepunkt bestimmen
Bestimme nun den Wendepunkt.
Setze dafür die zweite Ableitung F4′′(x)=−2x+4 gleich 0.
0 = F4′′(x) 0 = −2x+4 +2x 2x = 4 :2 x = 2 Setze x=2 in F4(x) ein.
F4(2)=−31⋅23+2⋅22−332=−316
Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes WP(2∣−316).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Skizziere Gf4 und GF4 im selben Koordinatensystem.
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter a∈R durch fa(x)=x2+a−2x2+50
Untersuche fa auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt Ya mit der y-Achse an
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Finde Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner Null wird.
x2+a=0 ∣−a
x2=−a
Mache eine Fallunterscheidung für a.
a>0 : Gleichung nie erfüllt
Bestimme den Definitionsbereich.
⇒Dfa=R
a≤0: x=±−a
Bestimme den Definitionsbereich.
⇒Dfa=R\{±−a}
Nullstellen bestimmen
−2x2+50=0∣−50
−2x2=−50 ∣:(−2)
x2=25 ∣
x=±5
Gib die beiden Nullstellen an.
⇒x1=−5,x2=5
Y-Achsenabschnitt bestimmen
Setze 0 in die Funktion ein
fa(0)=(0)2+a−2⋅(0)2+50=a50
Gib den Schnittpunkt an.
⇒Ya(0∣a50)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne limx→−a±0f(x) , sofern a≤0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert berechnen
fa(x) = x2+a−2x2+50 ↓ Faktorisiere die Funktion für a≤0
= (x+−a)(x−−a)−2(x+5)(x−5) Berechne nun den Grenzwert
x→−a±0limfa(x) = x→−a±0lim(x+−a)(x−−a)−2(x+5)(x−5) ↓ Setze die Grenze ein.
= (−a+−a)−0⇒0(−a−−a)−2(−a+5)(−a−5) Bestimme nun den Grenzwert. Je nachdem von welcher Seite man sich −a nähert, erhält man entweder ein + oder ein − als Vorzeichen:
→±∞
Hast du eine Frage oder Feedback?
Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für a=−25,a=−16 und a=25 an.
fa(x)=x2+a−2x2+50
Setze die geforderten Werte für a ein und bestimme so die 3 Funktionsterme
f−25(x)=x2−25−2x2+50(x2−25)−2(x2−25)−2
Beachte hier aber die Definitionslücken beim Einzeichnen!
f−16(x)=x2−16−2x2+50
f25(x)=x2+25−2x2+50
Skizze:
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 6
Für jedes a∈R\{0} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=x⋅eax+a3.
Der Graph der Funktion ist Ka.
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter a an.
Wo schneiden die Scharkurven die y-Achse?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die y-Achse wird für x=0 geschnitten.
Setze x=0 in die Funktionsgleichung ein:
fa(0)=0⋅ea⋅0+a3=0⋅1+a3=a3
Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der y-Achse hat die Koordinaten Sy(0a3).
Hast du eine Frage oder Feedback?
Untersuche Ka