Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

1

Gegeben sind die Funktionenschar fk{\mathrm f}_\mathrm k mit  fk(x)=2kx+3{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=2\mathrm{kx}+3 mit dem Parameter kR\mathrm k\in\mathbb{R} und die Parabel  p\mathrm p mit p(x)=x22x+5\mathrm p(\mathrm x)=\mathrm x^2-2\mathrm x+5 .

Welche der Geraden  fk{\mathrm f}_\mathrm k ist parallel zur Tangente an  p\mathrm p im Punkt Q(2    5)\mathrm Q\left(\left.2\;\right|\;5\right) ?

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
2

Gegeben ist die Funktionenschar fa{\mathrm f}_\mathrm a mit  fa(x)=1a2x33ax29x+5(a+1){\mathrm f}_\mathrm a(\mathrm x)=\frac1{\mathrm a^2}\mathrm x^3-\frac3{\mathrm a}\mathrm x^2-9\mathrm x+5\left(\mathrm a+1\right) mit dem negativen Parameter a\mathrm a.

  1. Untersuche die Lage des Maximums.

  2. Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
3

Gegeben ist die Funktionenschar fk{\mathrm f}_\mathrm k mit  fk(x)=kx2x2\displaystyle{\mathrm f}_\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm{kx}-2}{\mathrm x^2}.

Das Schaubild zeigt den Graphen für k=3\mathrm k=3.

Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter kk.

Überzeuge dich davon, dass sich für k=3\mathrm k=3 die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
4

Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter aR\mathrm a\in\mathbb{R} durch fa(x)=2x2+50x2+af_a(x)=\frac{-2x^2+50}{x^2+a}

  1. Untersuche fa{\mathrm f}_\mathrm a auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt Ya{\mathrm Y}_\mathrm a mit der y-Achse an

  2. Berechne limxa±0f(x)\lim_{\mathrm x\rightarrow\sqrt{-\mathrm a}\pm0}\mathrm f(\mathrm x) , sofern a0\mathrm a\leq0.

  3. Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für  a=25,  a=16\mathrm a=-25,\;\mathrm a=-16   und  a=25\mathrm a=25 an.

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
5

fa(x)=4a2(8a)(x2ax)f_a(x)=-\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax}) mit aR\{0;8}a \in\mathbb R\backslash\{0;8\}

a

Bestimme den Flächeninhalt A(a)A(a) der Fläche zwischen GfaG_{f_a} und der x-Achse.

b

Für welche aa ist der Inhalt der Fläche A(a) A(a) gleich 8?

c

Bestimme für 0<a<80<a<8 den Flächeninhalt A(a)A(a) so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

d

F4(x)=4xf4(t)dtF_4(x)=\int _4^xf_4(t)\mathrm{dt} Bestimme den Term F4(x)F_4(x) und alle Nullstellen von  F4F_4

e

Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von GF4G_{F_4} .

f

Skizziere Gf4G_{f_4} und GF4G_{F_4} im selben Koordinatensystem.

6

Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter aR\mathrm a\in\mathbb{R} durch fa(x)=2x2+50x2+af_a(x)=\frac{-2x^2+50}{x^2+a}

a

Untersuche fa{\mathrm f}_\mathrm a auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt Ya{\mathrm Y}_\mathrm a mit der y-Achse an

b

Berechne limxa±0f(x)\lim_{\mathrm{x}\rightarrow\sqrt{-\mathrm{a}}\pm0}\mathrm{f}(\mathrm{x}) , sofern a0\mathrm a\leq0

c

Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für  a=25,  a=16\mathrm a=-25,\;\mathrm a=-16   und  a=25\mathrm a=25 an.


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