Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

$f_{a} (x) = - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - ax)$ mit $a \in ℝ \ {0; 8}$

Bestimme den Flächeninhalt $A (a)$ der Fläche zwischen $G_{f_{a}}$ und der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden

Nullstellen berechnen

Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.

$f_{a} (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f_{a} (x) = - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - ax)$ ein.
$- \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - ax)$	$=$	$0$	$: (- \frac{4}{a^{2}} (8 - a))$
	↓	Es wird durch alles, dass kein $x$ enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
$x^{2} - a x$	$=$	$0$
	↓	$x$ wird ausgeklammert.
$x (x - a)$	$=$	$0$

Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.

$x_{1} = 0, x_{2} = a$

Integral aufstellen

Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen $G_{f a}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche $A (a)$ zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von $f_{a}$ .

$A (a)$	$=$	$\| \int_{0}^{a} - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - a x) dx \|$
	↓	Der Term $- \frac{4}{a^{2}} (8 - a)$ wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von $x$ ab.
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) \int_{0}^{a} (x^{2} - a x) dx \|$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion von $(x^{2} - a x)$ , um das Integral zu berechnen.
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) {[\frac{1}{3} x^{3} - a \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{a} \|$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die obere Grenze $(a)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(0)$ gerechnet.
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) [(\frac{1}{3} a^{3} - a \frac{1}{2} a^{2}) - (\frac{1}{3} 0^{3} - a \frac{1}{2} 0^{2})] \|$
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (\frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{2} a^{3}) \|$
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (- \frac{1}{6} a^{3}) \|$
	$=$	$\| \frac{4}{6 a^{2}} (8 a^{3} - a^{4}) \|$
	$=$	$\| \frac{2}{3} (8 a - a^{2}) \|$
	$=$	$\| \frac{2}{3} (8 a - a^{2}) \|$
	↓	Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
	$=$	$\| - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a \|$

Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere $- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$ positiv ist und wann negativ.

$- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a = - \frac{2}{3} (a^{2} - 8 a) = - \frac{2}{3} \cdot a \cdot (a - 8)$

Der Term $- \frac{2}{3} \cdot a \cdot (a - 8)$ wäre Null für $a = 0$ und $a = 8$ . Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:

$a < 0$
$0 < a < 8$ und
$a > 8$

In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann $- \frac{2}{3} \cdot a \cdot (a - 8)$ positiv ist und wann negativ:

	$a < 0$	$0 < a < 8$	$a > 8$
$- \frac{2}{3}$	$-$	$-$	$-$
$a$	$-$	$+$	$+$
$a - 8$	$-$	$-$	$+$

$- \frac{2}{3} \cdot a \cdot (8 - a)$	$-$	$+$	$-$

$\Rightarrow - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} > 0$ für $0 < a < 8$ und sonst ist $- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} < 0$

Antwort: $A (a) = {\begin{matrix} - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a & 0 < a < 8 \\ \frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a & sonst \end{matrix}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Für welche $a$ ist der Inhalt der Fläche $A (a)$ gleich 8?

Bestimme für $0 < a < 8$ den Flächeninhalt $A (a)$ so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximum
Der Maximalwert der Fläche ist das gleiche, wie das Maximum der Funktion .
Um dieses zu bestimmen, muss $A_{1} (a)$ ( $A_{1} = - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$ ) abgeleitet werden.
$A_{1}^{'} (a) = - \frac{4}{3} a + \frac{16}{3}$
Der Graph von $A_{1} (a)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel, d.h. es gibt nur ein Maximum. Das gesuchte Maximum ist die Nullstelle der Ableitung, demnach wird $\frac{dA}{da}$ gleich $0$ gesetzt.
$0$ $=$ $A_{1}^{'} (a)$
$0$ $=$ $- \frac{4}{3} a + \frac{16}{3}$ $+ \frac{4}{3} a$
$\frac{4}{3} a$ $=$ $\frac{16}{3}$ $: \frac{4}{3}$
$a$ $=$ $4$
Die Bedingung in der Aufgabenstellung $0 < a < 8$ ist für $a = 4$ erfüllt.
Die Stelle, an der $A_{1} (a)$ den größten Wert hat ist bekannt, wie hoch dieser ist wird ermittelt, indem das berechnete $a$ in $A_{1} (a)$ eingesetzt wird.
$A_{1} (4)$ $=$ $- \frac{2}{3} \cdot 4^{2} + \frac{16}{3} \cdot 4$
$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 16 + \frac{16}{3} \cdot 4$
$=$ $- \frac{32}{3} + \frac{64}{3}$
$=$ $\frac{32}{3}$
$=$ $10, 6$
Antwort: Der maximale Flächeninhalt beträgt $\frac{32}{3}$ FE.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

$F_{4} (x) = \int_{4}^{x} f_{4} (t) dt$ Bestimme den Term $F_{4} (x)$ und alle Nullstellen von $F_{4}$

Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von $G_{F_{4}}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Leite $F_{4} (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$ zweimal ab.
$F_{4}^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$
$F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema von $F_{4} (x)$ .
$F_{4}^{'} {(x)}_{}$ $=$ $0$
↓
Setze $F_{4}^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$ ein.
$- x^{2} + 4 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $- x$ aus.
$- x (x - 4)$ $=$ $0$
Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( $- x \cdot (x - 4)$ ) Null ist.
$- x = 0$ für $x = 0$
$x - 4 = 0$ für $x = 4$
$x_{1} = 0, x_{2} = 4$
Extremum für $x = 0$
Setze die gefundene Nullstelle $x = 0$ der Ableitung von $F_{4} (x)$ in $F_{4} (x)$ ein.
$F_{4} (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$
$F_{4} (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - \frac{32}{3} = - \frac{32}{3}$
Setze jetzt $x = 0$ in $F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$ ein.
$F_{4}^{''} (0) = - 2 \cdot 0 + 4 = 4$
Da $F_{4}^{''} (0) > 0$ ist, hat $F_{4} (x)$ an der Stelle $x_{1} = 0$ einen Tiefpunkt $TP (0 | - \frac{32}{3})$ .
Extremum für $x = 4$
Setze die gefundene Nullstelle $x = 4$ der Ableitung von $F_{4} (x)$ in $F_{4} (x)$ ein.
$F_{4} (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$
$F_{4} (4) = - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4^{2} - \frac{32}{3} = 0$
Setze jetzt $x = 4$ in $F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$ ein.
$F_{4}^{''} (4) = - 2 \cdot 4 + 4 = - 4$
Da $F_{4}^{''} (4) < 0$ ist, hat $F_{4} (x)$ an der Stelle $x_{2} = 4$ einen Hochpunkt $HP (4 | 0)$
Wendepunkt bestimmen
Bestimme nun den Wendepunkt.
Setze dafür die zweite Ableitung $F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$ gleich $0$ .
$0$ $=$ $F_{4}^{''} (x)$
$0$ $=$ $- 2 x + 4$ $+ 2 x$
$2 x$ $=$ $4$ $: 2$
$x$ $=$ $2$
Setze $x = 2$ in $F_{4} (x)$ ein.
$F_{4} (2) = - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - \frac{32}{3} = - \frac{16}{3}$
Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes $W P (2 | - \frac{16}{3})$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Skizziere $G_{f_{4}}$ und $G_{F_{4}}$ im selben Koordinatensystem.

Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$8$	$=$	$A (a)$
	↓	Setze $A_{1} = - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$ ein.
$8$	$=$	$- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$	$- 8$
$0$	$=$	$- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a - 8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \sqrt{{(\frac{16}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) (- 8)}}{2 (- \frac{2}{3})}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{256}{9} - \frac{64}{3}}}{2 (- \frac{2}{3})}$
	↓	Fasse zusammen.
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{64}{9}}}{- \frac{4}{3}}$
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \frac{8}{3}}{- \frac{4}{3}}$
$a_{1,2}$	$=$	$- \frac{3}{4} (- \frac{16}{3} \pm \frac{8}{3})$
$a_{1,2}$	$=$	$4 \mp 2$

$8$	$=$	$A (a)$
	↓	Setze $A_{2} = \frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a$ ein.
$8$	$=$	$\frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a$	$- 8$
$0$	$=$	$\frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a - 8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{\frac{16}{3} \pm \sqrt{{(\frac{16}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) (- 8)}}{2 (\frac{2}{3})}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{\frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{256}{9} + \frac{64}{3}}}{2 (\frac{2}{3})}$
	↓	Fasse zusammen.
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{\frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{448}{9}}}{\frac{4}{3}}$
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{3}{4} (\frac{16}{3} \pm \frac{8 \sqrt{7}}{3})$
$a_{3,4}$	$=$	$4 \pm 2 \sqrt{7}$

$f_{4} (t)$	$=$	$\int_{4}^{x} f_{4} (t) dt$
	$=$	$\int_{4}^{x} (- t^{2} + 4 t) dt$
	↓	Integriere.
	$=$	${[- \frac{1}{3} t^{3} + \frac{4}{2} t^{2}]}_{4}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ die obere Grenze $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(4)$ gerechnet.
	$=$	$[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2}] - [- \frac{1}{3} 4^{3} + \frac{4}{2} 4^{2}]$
	$=$	$- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + \frac{64}{3} - 32$
	$=$	$- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$

$0$	$=$	$x^{2} - 8 x + 16$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{{(8)}^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (16)}}{2 \cdot (1)}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{(64 - 64)}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{8}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$4$

$0$	$=$	$A_{1}^{'} (a)$
$0$	$=$	$- \frac{4}{3} a + \frac{16}{3}$	$+ \frac{4}{3} a$
$\frac{4}{3} a$	$=$	$\frac{16}{3}$	$: \frac{4}{3}$
$a$	$=$	$4$

$A_{1} (4)$	$=$	$- \frac{2}{3} \cdot 4^{2} + \frac{16}{3} \cdot 4$
	$=$	$- \frac{2}{3} \cdot 16 + \frac{16}{3} \cdot 4$
	$=$	$- \frac{32}{3} + \frac{64}{3}$
	$=$	$\frac{32}{3}$
	$=$	$10, 6$

$0$	$=$	$F_{4} (x) .$
$0$	$=$	$- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$	$\cdot (- 3)$
$0$	$=$	$x^{3} - 6 x^{2} + 32$

$0$	$=$	$x^{2} - 8 x + 16$
	↓	Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
$0$	$=$	${(x - 4)}^{2}$	$\sqrt{}$
$0$	$=$		$+ 4$
$0$	$=$	$x - 4$
$4$	$=$	$x$
$x_{2,3}$	$=$	$4$

$F_{4}^{'} {(x)}_{}$	$=$	$0$
	↓	Setze $F_{4}^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$ ein.
$- x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $- x$ aus.
$- x (x - 4)$	$=$	$0$

$0$	$=$	$F_{4}^{''} (x)$
$0$	$=$	$- 2 x + 4$	$+ 2 x$
$2 x$	$=$	$4$	$: 2$
$x$	$=$	$2$

Nullstellen berechnen

Integral aufstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

Hast du eine Frage oder Feedback?

Extrema bestimmen

Extremum für x=0

Extremum für x=4

Wendepunkt bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Extremum für $x = 0$

Extremum für $x = 4$